Exercice N°139: Fonctions de deux variables

6666666666′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Fonctions r´eelles de deux variables  2 2 x y  Topologie du plan , si (x,y) = (0,0) 2 2 2 2. ∀(x,y)∈ R f(x,y) = x +y 2  Exercice 1 : Pour chacun des sous-ensembles de R qui suivent, dire s’ils sont 0 si (x,y) = (0,0).  ouverts, ferm´es, born´es! xy  p , si (x,y) = (0,0) 2 2 2 2 2 1. {(x,y)∈ R | 1≤|x−1| 0, on consid`ere, dans R les parties On noteD ={(x,y)∈ R x (x,y)+y (x,y) = 0 2 2 2 2 2 2 ∂x ∂y R |x +y 0, 1 R ×R→ R de classe C , solutions de l’´equation aux d´eriv´ees partielles : x x x f(x,y)dxdy≤ f(x,y)dxdy≤ f(x,y)dxdy ∂f ∂f y (x,y)−x (x,y) =f(x,y) √ D C D R R 2R ∂x ∂y Z √ Z √ R ∞ 2 2 π π u = x −x −x 2. D´eduisez-en que lim e dx = . On notera e dx = . Exercice 15 : A l’aide du changement de variable , r´esolvez v = −x+y R→+∞ 2 2 0 0 l’´equation aux d´eriv´ees partielles : Exercice 20 : Z ∂f ∂f 1 xdy (x,y)+ (x,y) =f 1. Montrez que ∀x∈ [0,1],ln(1+x) = . ∂x ∂y 1+xy 0 Z 1 ln(1+x) u = 2x+y 2. D´eduisez-en la valeur de dx. Exercice 16 : A l’aide du changement de variable , r´esolvez 2 1+x v = 3x+y 0 2 ′′⊲⊲◮′6⊲′′⊔◮ Correction des exercices 1 1 ′′ ′′ Exercice 9 .— On note Ω l’ouvert Ω ={(x,y) | x = y} et D le droite d’´equation 2 limite suivantD Commef est de classeC surR, on a lim f (x) = f (a), 2 x→a 2 2 y =x de sorte que R = Ω D. autrement dit 2 1 Montrons que f est de classe C sur R . Comme souvent l’´etude est d´ecoup´ee en deux parties : ∂F ∂F 1 ′′ 1 lim (x,y) = (a,a) = f (a) • Dans Ω.