Exercice N°136: Courbes planes paramétrées

´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Courbes planes param´etr´ees (II) ´ Longueur d’arc Etude locale t t e te Exercice 6 : Calculez les longueurs des courbes suivantes : ~ Exercice 1 : Soit Γ l’arc param´etr´e par f(t) = , . 3 t+1 t+1 3 ~ 1. f(t) = acos t,asin t , pour t∈ [0,2π] et a> 0 (astro¨ıde) 1. Donnez le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 3 des fonctions x(t) et y(t) au voisi- ~ 2. f(t) = t−sint,1−cost , pour t∈ [0,2π] (arche de la cyclo¨ıde) ~ nage de 1. D´eduisez-en la formule de Taylor vectorielle de f(t) = x(t),y(t) 2 ~ au point de param`etre 1. 3. f(t) = 2pt ,2pt , pour t∈ [a,b], et p > 0 (parabole) (p) (q) 2. D´eterminez p et q avec p 0. 2 ~ R . Explicitez f(t) dans cette base. (n´ephro¨ıde) 3. Quelle est la nature du point M(1)? Exercice 7 : Calculez les longueurs des courbes suivantes : Exercice 2 : Pour chacune des courbes param´etr´ees suivantes, d´eterminez l’allure 1. ρ =a(1+cosθ), pour θ∈ [0,2π] et a> 0 (cardio¨ıde) locale au voisinage du point M(0) : 3 2. ρ = cos (θ/3), pour θ∈ [0,3π/2]. ~ 1. f(t) = t,ln(1+t) + ~ bt bt 1 Exercice 8 : Soit Γ la courbe param´etr´ee par f(t) = ae cost,ae sint , t∈ R 4 ~ 2. f(t) = ,ln(1+t 1−t ou` a> 0 et b 0. ´ Etudiez, suivant la valeur de λ le nombre de points d’inflexion. 1 ′′ 2. la chainette d’´equation y = chx 1. Pr´ecisez l’ensemble de d´efinition et ´etudiez bri`evement cette courbe. 2 2 ´ x y 2. Etant donn´e un point de param`etre t, on note N l’intersection de la tangente 3.