Exercice N°132: Intégration sur un segment

⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Int´egration sur un segment Int´egration `a vue Changement de variables Exercice 1 : D´eterminez les primitives des fonctions suivantes : Exercice 6 : D´eterminez les primitives suivantes : Z Z Z Z Z Z x x x x x x 2t √ 2 dt e t 3 − t √ 1. te dt 4. tantdt 7. cos tdt 1. √ 5. e dt 3. dt t 3 e +1 t+ t Z Z Z Z Z Z x x x x x x 2 tdt dt t dt dt dt lnt 2. √ 5. √ 8. 2. dt 4. √ 6. 3 2 2 2 2 t 1+t 1+t t+t(lnt) 4−6t t t −1 Z Z Z x x x 1 lnt t 3. dt 6. dt 9. dt Exercice 7 : Calculez les int´egrales suivantes : 4 t tlnt 1+t Z Z Z π 1 e p sint dt 2 1. 1−t dt 4. 7. dt 2 2 3+cos t t+t(lnt) Exercice 2 : Calculez les int´egrales suivantes : 0 1 0 √ Z Z Z Z Z 2π 1 Z 1/ 2 e 2 1 p dt dt dt dt 2 2 3. √ 2 1. cos dt 5. √ dt 5. √ 8. √ 2. t 1−t dt 2 2 1+t 0 0 1−t t lnt+1 0 1 t+2t 1 0 Z Z Z Z Z 2 2 Z 1 1 2 2 dt dt dt lnt ln(1+t)−lnt 2. lntdt 4. 6. 6. 9. dt 3. √ dt 2 2 t 2 t 1+t e +1 t 1 1 0 t 0 1 1 Z 2π Propri´et´es de l’int´egrale 2 Exercice 3 : Soit (m,n)∈ N , calculez I = cosmtcosntdt. m,n Z 1 0 1 Exercice 8 : Soit f : [0,1] → R une fonction continue telle que f(t)dt = . 2 0 Int´egrations par parties Montrez que f admet un point fixe dans c∈ [0,1]. Exercice 4 : D´eterminez les primitives suivantes : Z Z Z x x x + Exercice 9 : Soit f : [0,1]→ R une fonction continue par morceaux strictement 1. tlntdt 3. tArctantdt 5. (t+1)chtdt Z Z 1 1 1 Z Z Z positive. Montrez que f(t)dt × dt ≥ 1. x x x f(t) 2 −t 3 0 0 2. (t−1)sintdt 4. (t −t+1)e dt 6.