Exercice N°131: Déterminants, applications

⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 D´eterminants a a a ··· a Propri´et´es des d´eterminants 1 2 3 n a a a ··· a 1 1 2 n−1 Exercice1: SoitE unR-espacevectorieldedimensionfinieetf unendomorphisme . . . . . . . . n 2 . . 2. Δ = . . , ou` (a ,a ,...,a )∈K de E v´erifiant f =−id . Montrez que dim E est pair. E R n 1 2 n . . . . . . a 2 Exercice 2 : Montrez qu’une matrice carr´ee antisym´etrique d’ordre impair n’est a a a ··· a 1 1 1 1 pas inversible. a 0 0 ··· 0 0 0 · a Exercice 3 : Soit M une matrice carr´ee d’ordre n. On suppose que M est de rang 0 0 a 0 3. Δ = ou` a∈K strictement inf´erieur `a n−1. Montrez que sa comatrice est nulle. n . . . . . · a · . Exercice 4 : Soit Φ∈L(R [X]) d´efini par 0 a 0 ··· 0 n Z x+1 ] ˜ ∀P ∈R [X],∀x∈R, Φ(P)(x) = P(t)dt. n Exercice 8 : Calculez les d´eterminants d’ordre n∈N suivants, en ´etablissant une x relation de r´ecurrence : Calculez le d´eterminant de Φ. Est-ce un automorphisme de R [X]? n 2a a 0 ··· 0 0 1 ··· 1 . . . Exercice 5 : Soit T : M (R) → M (R) l’application qui `a toute matrice carr´ee n n . . . . . a 2a . . . . . . . d’ordre n associe sa transpos´ee. Calculez le d´eterminant de T. . . −1 . . . . . . . 1. Δ = 2. Δ = , n n . . . 0 0 . . . . . . . . . 1 . . . . Calculs de d´eterminants . . . . . . . .