Exercice N°130: Représentation matricielle en dim finie

⋆′′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Repr´esentations matricielles en dimension finie Repr´esentation matricielle d’une famille de vecteurs D´emontrezqueϕestunautomorphismedeE etd´eterminezsonisomorphisme r´eciproque. Exercice 1 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (~e ,~e ,~e ) une 1 2 3 base de E. On pose~ε =~e +2·~e ,~ε =~e −~e et~ε =~e +2·~e . 1 2 3 2 3 1 3 1 3 Exercice 6 : Soit E = R [X]. A tout polynˆome P ∈ E, on associe le polynˆome 2 1. D´eterminez la matrice repr´esentative de (~ε ,~ε ,~ε ) dans la baseB. 1 2 3 ϕ(P)(X) = (X +1)P +P. 2. Montrez que (~ε ,~ε ,~ε ) est une base de E. 1 2 3 1. V´erifiez que ϕ est un endomorphisme de E et d´eterminez sa matrice repr´esentative M dans la base canonique de E. Exercice 2 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (~e ,~e ,~e ) une −1 1 2 3 2. D´emontrez que M est inversible et calculez M . base de E. On pose ~ε =~e +2·~e +2·~e , ~ε =~e +~e . Montrez que la famille 1 1 2 3 2 2 3 −1 3. D´eduisez-en que ϕ est un automorphisme et explicitez ϕ . (~ε ,~ε ) est libre, puis compl´etez-la en une base de E. 1 2 Exercice 7 : Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 rapport´e `a une base Exercice 3 : SoitE un K-espace vectoriel de dimensionn∈N etB = (~e ,...,~e ) 1 n B = (~e ,~e ,~e ,~e ). 1 2 3 4 une base de E. On pose pour tout i∈ [[1,n]],~ε =~e +···+~e i 1 i Soit f ∈ L(E) l’endomorphisme de E   1. D´eterminez la matrice repr´esentative de (~ε ,...,~ε ) dans la baseB.