Exercice N°128: Applications linéaires

′′′⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Espaces vectoriels (II) 0 Images et noyaux d’applications lin´eaires Exercice 7 : Soit E =C (R,R) et ϕ l’application d´efinie sur E qui `a toute fonction f ∈ E associe la fonction g : R→ R, d´efinie par 3 2 Exercice 1 : Soit f : R → R d´efinie par Z x 3 ∀(x,y,z)∈ R , f(x,y,z) = (2x−y,y+z) ∀x∈ R,g(x) = tf(t)dt 0 1. Montrez que f est une application lin´eaire. 1. Montrez que ϕ est un endomorphisme de E. 2. D´eterminez le noyau et l’image de f. f est-elle injective? surjective? 2. Est-il injectif, surjectif? Exercice 2 : Formes lin´eaires 3 2 1. D´emontrez qu’il existe une application lin´eaire f : R → R , unique telle que Exercice 8 : Trace d’une matrice f(1,0,0) = (0,1), f(1,1,0) = (1,0), f(1,1,1) = (1,1) Etant donn´ee une matrice carr´ee A∈M (K), on d´efinit la trace de A comme la n somme des ´el´ements diagonaux de A : 3 2. Explicitez pour tout triplet (x,y,z)∈ R , f(x,y,z). n X 3. D´eterminez l’image et le noyau de f. f est-elle injective? surjective? Tr(A) = a i,i i=1 5 Exercice 3 : Soit E = R et B sa base canonique. On consid`ere l’endomorphisme f de E canoniquement associ´e `a la matrice A ci-dessous. 1. Montrezquel’applicationTr :M (K)→ Kestuneformelin´eairesurM (K). n n   1 1 1 1 1 1. D´eterminez des bases de Imf et Kerf. 2. D´emontrez que pour toutes matrices carr´ees A et B d’ordre n, on a : 1 0 0 0 1   Tr(A×B) = Tr(B×A). 2. Montrez que : E = Imf⊕Kerf. 1 0 0 0 1 A =   1 0 0 0 1 3.