Exercice N°127: Espaces vectoriels

′⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Espaces vectoriels (I) n t Starting in K Exercice 8 : On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire y +2e y = 0. 3 1. Montrez que l’ensembleS des solutions est un R-espace vectoriel. 0 Exercice1: Consid´eronsdansR lesvecteurs~x = (1,1,0),~y = (0,0,1),~a = (1,1,1) ~ et b = (1,1,−1). D´emontrez que 2. D´eterminez une fonction y : R→ R telle queS = Vect(y ). 0 0 0 ~ Vect{~x,~y} = Vect{~a,b} Exercice 9 : Soit E = R[X] et F le sous-ensemble de E des polynˆomes v´erifiant : 3 2 4 Exercice 2 : On consid`ere dans R les trois vecteurs ~x = (1,2,1), ~y = (2,−1,−2) ∃(a,b)∈ R , P =aX +(a+b)X. et~z = (−1,2,k). D´eterminez k∈ R de sorte que~z∈ Vect{~x,~y}. Montrez que F est un sous-espace vectoriel et donnnez-en une base. 4 Exercice 3 : Soit F = {(x,y,z,t) ∈ R | 2x + y = 0, t = −x + 3z} et 4 G ={(x,y,z,t)∈ R |x+2y+3z +t = 0}. Exercice 10 : Soit E,F et G des K-espaces vectoriels. On suppose que 1. Montrez que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E. E +F =E +G, E∩F =E∩G etF ⊂G 2. D´eterminez F ∩G et donnez-en une base. 1. Montrez que F =G. 3 ~ Exercice 4 : Consid´erons dans R les vecteurs ~a = (4,−5,3), b = (2,3,−2), 2. L’hypoth`ese F ⊂G est-elle vraiment n´ecessaire? ~ ~ ~ ~c = (4,−16,10) et d = (8,1,−1). On note F = Vect{~a,b,~c,d} le sous-espace 3 vectoriel de R engendr´e par ces quatre vecteurs. Exercice 11 : SoitE un K-espace vectoriel,F etG deux sous-espaces vectoriels de 1. D´eterminez les ´equations de F. E.