Exercice N°126: Calcul matriciel

⋆⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Calcul matriciel 2 3 k Op´erations sur les matrices 1. Calculez J et J . En d´eduire les puissances successives de J : J , k≥ 3. 2. On pose T = 2I +J. Exercice1: Soit(λ ,...,λ )unn-upletdescalairesdeux`adeuxdistincts.Onnote 1 n n Donnez l’expression de T pour tout entier n∈ N. D = Diag(λ ,...,λ ). D´eterminez les matrices deM (K) qui commutent avec D. 1 n n 3. On consid`ere les suites (a ) , (b ) et (c ) d´efinies par les rela- n n∈N n n∈N n n∈N Exercice 2 : Soit E le sous-ensemble de M (K) form´e des matrices de la forme tions de r´ecurrence : 2  a+b b 2 A = , avec (a,b)∈ K .  a = 2a n n−1 −b a−b b = 2a +2b ∀n≥ 2 n n−1 n−1 1. Montrez que (E,+,×) est un sous-anneau commutatif deM (K).  2 c = b +2c n n−1 n−1 2. D´eterminez les diviseurs de z´ero de E. Utilisezlesr´esultatsdesquestionspr´ec´edentespourd´eterminerlesexpressions 3. D´ ses ´el´ements inversibles. de a , b et c en fonction de a , b ,c et de n. n n n 1 1 1 Exercice 3 : Donnez une condition n´ecessaire et suffisante pour que le produit de 1 1 deux matrices sym´etriques soit encore une matrice sym´etrique. Exercice 7 : On consid`ere la matrice A = . 0 2 2 1. Calculez P(A), ou` P est le polynˆome P(X) =X −3X +2. Calcul des puissances n 2 3 4 n 2. Soit n ≥ 2. D´eterminez le reste de la division euclidienne de X par P. Exercice 4 : Calculez A ,A ,A puis A dans les cas suivants : n D´eduisez-en l’expression de A .     1 0 1 1 1 1 −1 3.