Exercice N°124: Polynômes à une indéterminée

6′′′⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Polynˆomes `a une ind´etermin´ee Op´erations dans K[X] 2. Soit a∈ K. Exprimez `a l’aide de P(a) et P (a) le reste de la division eucli- 2 dienne de P par (X−a) . Exercice 1 : D´eterminez les degr´es et coefficients dominants des polynˆomes sui- vants : Exercice 8 : R´esolvez les ´equations d’inconnue P ∈K[X] suivantes : n n 3 2 2 1. P =X −X×(X−2+i) 3. P = (X−2) −(X +5) 2 1. P = 4P, 1 n n Y 2 ′′ Y 2. (X +1)P −6P = 0. k 4. P = (X−6) 2. P = (2X−k) 3 4 k=0 k=0 +∞ X 1 (n) Exercice 9 : Soit P ∈K[X]. Montrez que P(X +1) = P (X). Exercice 2 : R´esolvez les ´equations d’inconnue P ∈K[X] suivantes : n! n=0 2 1. P = 4P, Arithm´etique des polynˆomes 2 ′′ 2. (X +1)P −6P = 0. 4 2 3 2 2 2 Exercice10: D´eterminezlePGCDdeA =X −3X −4etdeB =X +2X −X−2. 3. P(X ) = (X +1)×P(X) Indication : raisonner par analyse-synth`ese et commencer par examiner le degr´e 7 5 Exercice 11 : Soit A =X −X−1 et B =X +1. d’une solution au probl`eme pos´e. 2 1. D´eterminez un couple (U ,V )∈K[X] tel que AU +BV = 1. 0 0 0 0 n X 2 n 2. R´esolvez dans K[X] l’´equation AU +BV = 1. k 3n−2k k Exercice 3 : Simplifiez le polynˆome P = 3 (1−X) X k k=0 Exercice 12 : Soit (n,m)∈N ×N . n m Divisibilit´e 1. D´eduisez de la division euclidienne de n par m, celle de X −1 par X −1. n m n∧m 2. D´emontrez que PGCD(X −1,X −1) =X −1. Exercice 4 : Effectuez les divisions euclidiennes de A par B lorsque 2 3 4 2 1. A = 1+6X +4X −5X et B =X −5X +3, Racines 3 2 2.