Exercice N°123: Suites numériques

´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Suites num´eriques (II) Suites classiques Exercice 5 : Soient u et v les suites d´efinies par les conditions initiales u = 1, 0 v = 2 et les relations de r´ecurrence n 0 Y π π Exercice 1 : Soit n≥ 2, on d´efinit u = cos et v = u sin . n n n k n u +3v 3u +v 2 2 n n n n k=2 ∀n∈ N, u = et v = n+1 n+1 4 4 1. Montrez que u est monotone. 1. On d´efinit les suites a et b par :∀n∈ N, a = u +v et b = u −v . V´erifiez n n n n n 2. Montrez que v est g´eom´etrique. que a et b sont des suites g´eom´etriques. 3. En d´eduire l’expression de v puis de u en fonction de n. n n 2. En d´eduire l’expression de u et v en fonction de n. n n 4. Quelle est la limite de la suite u? Suites de r´ef´erence, limites et comparaisons Exercice 2 : Exprimez en fonction de n les suites d´efinies par : Exercice 6 : Etudiez la limite de la suite u d´efinie ci-dessous. √ √ n 2 1. u = 8 et∀n∈ N,n≥ 5, u = 2u 5 n+1 n n +2n+8 n+1− n−1 √ √ 1. u = 3. u = n n n 2 2. u = 3 et∀n∈ N,u = 2u −1 0 n+1 n n −3n+7 n+1+ n−1 n √ 3. u = u = 1 et∀n∈ N, 6u −5u =−u . 1 1 0 1 n+2 n+1 n 2. u = nsin 4. u = 1+ n n lnn n 4. u = 1,u = 2 et∀n∈ N, u = 2u −u 0 1 n+2 n+1 n 5. u = 0,u = 1 et∀n∈ N u +2u =−2u . 0 1 n+2 n+1 n Exercice 7 : D´eterminez un´equivalent de la suite u d´efinie ci-dessous et en d´eduire √ 6. u > 0, u > 0 et∀n∈ N, u = u u . 0 1 n+2 n n+1 sa limite ´eventuelle : √ n n−lnn+4/n 5 7. u = 1 et , u = 2 u 0 n+1 n 2n 1. u = n n 2 3.