Exercice N°122: Dérivation

′′′ℓ′′′′ℓ⋆ℓ′′⋆′⋆′′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 D´erivation (II) Th´eor`eme de Rolle 2. Onsupposeque∀x∈ [a,b],|f (x)| 1, on a √ a+b ln ≥ lna lnb 2 Exercice 13 : 1. Montrez que x →−lnx est convexe. 2. Al’aidedel’in´egalit´edeJensenmontrezquesix ,x ,...,x sontdesnombres 1 2 n r´eels strictement positifs, alors n X √ 1 n x x ···x ≤ x . 1 2 n k n k=1 Exercice 14 : D´emontrez que h i π 2 1. ∀x∈ 0, , x≤ sinx≤ x 2 π π π 2. ∀x∈]− , [, |tanx|≥|x|. 2 2 x 3. ∀x∈]−1,+∞[, ≤ ln(1+x)≤ x. 1+x 2 x + x 4. ∀x∈R , e ≥ 1+x+ 2 n+1 5. ∀x∈ [0,+∞[,x −(n+1)x+n≥ 0 Miscellaneous Exercice 15 : 1. Trouvez toutes les fonctions f : R→ R, d´erivables en 0 et telles que ∀x∈R, f(2x) = 2f(x) 2. Trouvez toutes les fonctions f : R→ R, d´erivables en 0 et telles que 2 ∀x∈R, f(2x) = f(x) 2 ′′′′⋆′′′′′′′′′ Correction des exercices Exercice 1 .— 1. On montre par r´ecurrence que pour tout entier n∈N Nb : ici on utilisera que Argth r´ealise une bijection strictement croissante + de [0,1[ sur R . n i`eme P toute fonction de classe C qui s’annule n+1 fois a sa d´eriv´ee n qui s’annule. n Init. lorsque n = 0, le r´esultat est trivial, lorsque n = 1, on reconnaˆıt le La fonction h est d´erivable sur ]0,1[ comme compos´ee de telles fonctions et pur th´eor`eme de Rolle. pour tout x∈]0,1[, on a n+1 H´er´ed. soit n ∈ N tel que P . Soit f une fonction de classe C .