Exercice N°121: Dérivation

⋆⋆⋆′⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 D´erivation (I) 2 n n−1 D´erivabilit´e 3. x →x (1+x) , x →x ln(1+x). Exercice 1 : D´eterminez les domaines de d´efinition, de continuit´e et de d´erivabilit´e Exercice 6 : des fonctions suivantes : 2x √ 1. Montrez que la fonction f d´efinie sur R par : f(x) = e est infiniment 2 1. x → x −x 2 2 d´erivable sur R et calculez ses d´eriv´ees successives. 6. x →(x −1)Arccosx 2. x →ln(|x|) 2x 2. D´eduisez-en que la fonction g d´efinie par : g(x) = xe est infiniment 7. x →xsin(1/x) x d´erivable sur R et calculez ses d´eriv´ees successives. 3. x → 2 8. x →x sin(1/x). 1+|x| 1/x 4 1−2x 9. x →x ln(x) + 4. x →1+x ) Exercice 7 : Soit f la fonction d´efinie sur R par : f(x) = . Arctanx x cosx 10. x → n 2 5. x → √ X 1+x 1 1+ x On pose ´egalement pour tout entier naturel n non nul, h = . n k k=1 + Exercice 2 : Etudiez la continuit´e et la d´erivabilit´e de la fonction f d´efinie sur R Montrez que f est ind´efiniment d´erivable sur R et exprimez pour tout entier (n) par n∈ N , f en fonction de h .