Exercice N°117: Suites numériques

⋆⌊ℓℓℓ⌋⋆⋆⌊⋆⌋ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Suites num´eriques (I) Propri´et´es fondamentales des suites convergentes 1. Etudiez la monotonie de S. 2. Montrez que S est convergente Exercice 1 : Soit u une suite de nombres entiers relatifs qui converge vers un r´eel . Montrez que u est stationnaire. 3. D´eterminez un encadrement de la limite. Exercice 2 : Soit u = (u ) une suite `a termes strictement positifs. Exercice 8 : ´etude d’une suite r´ecurrente  n n∈N  u =−2 0 1. On suppose que u est convergente de limite nulle. D´emontrez que la suite √ 2u Soit u la suite d´efinie par n ( u ) est aussi convergente vers 0. n  ∀n∈ N,u = n+1 3−u n 2. On suppose que u est convergente de limite ∈ R. D´emontrez que la suite √ √ 1. D´emontrez que u est major´ee par 0. ( u ) est aussi convergente de limite . n 2. Etudiez la monotonie de u. Exercice 3 : Soit (u ) une suite telle que les trois suites extraites (u ), (u ) 3. Conclure `a la convergence de u. n n∈N 2n 3n et (u ) convergent. Montrez que u converge. 2n+1 4. D´eterminez sa limite. Exercice 4 : Exercice 9 : Soit (u ) une suite born´ee de nombres r´eels v´erifiant : n n∈N j k x x+1 1. Montrez que pour tout r´eel x, + = x . ∀n∈ N , 2u ≤ u +u 2 2 n n+1 n−1 p k X n+2 1. Montrez que la suite (v ) de terme g´en´eral v = u −u converge. n n n+1 n 2. Soitn∈ N.Etudiezlasuite(U ) d´efiniepar∀p∈ N, U = . p p∈N p k+1 2 k=0 2. Montrez que (v ) est convergente de limite nulle.