Exercice N°116: Ensembles ordonnés, propriétés de R

≪′′′⋆′≪′6′⋆⋆⋆≪′⋆≪ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Ensembles ordonn´es, propri´et´es de R 1 Ensembles ordonn´es 1. A = ; n∈ N ; 1 n Exercice 1 : Soient (E,≤), (F, ) deux ensembles ordonn´es. Soit la relation 1 n binaire d´efinie dans E×F par : 2. A = (−1) (1− ); n∈ N ; 2 n  1 1 x 0, ∃(x,y)∈A , |x−y|> supA−infA−2ε. 4. D´eduisez-en que d(A) = supA−infA. Exercice 2 : Soit (E,≤) un ensemble ordonn´e. Pour tout´el´ementx deE, on d´efinit la partie : Exercice 6 : non existence de borne sup´erieure dans Q ϕ(x) ={t∈E | t≤x}. 2 1. D´emontrez que : Dans cet exercice, on admet que :∀ x∈ Q, x = 2. +∗ +∗ 2 2 1. Soient A ={ x∈ Z | x 2 }. D´eterminez 2 ∀(x,y)∈E | (x≤y)⇒ϕ(x)⊂ϕ(y). sup (A) et inf (B). Z Z +∗ 2 +∗ 2 2. Soient A = { x ∈ Q | x 2 }. On 2. D´emontrez que ϕ est une injection de E dansP(E). Est-ce une surjection? veut d´emontrer que A n’admet pas de borne sup´erieure dans Q, c’est-`a-dire que l’ensemble des majorants de A dans Q n’a pas de plus petit ´el´ement. 3. R´eciproquement, soit φ une injection de E dansP(E). On d´efinit la relation Pour cela, on suppose au contraire que α = sup (A) existe (α ∈ Q), et on Q R par : 2 2 ∀(x,y)∈E , xRy ⇐⇒ φ(x)⊂φ(y). pose β = . α D´emontrez queR ainsi d´efinie est une relation d’ordre sur E. (a) Montrez que β = inf(B). (b) Montrez que :∀a∈A, ∀b∈B, on aa≤b. Que pouvez-vous en d´eduire 4. Concluez. pour α et β? α+β (c) Enconsid´erantγ = ,montrezquel’onaboutit`aunecontradiction.