Exercice N°115: Structures algébriques fondamentales

⋆⋆⋆′′⋆⋆⋆⋆⋆⋆⋆′′′′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Structures alg´ebriques fondamentales Lois de composition interne 1. Soit (G,·) un groupe. D´emontrez que pour tout couple (a,b) d’´el´ements de G, chacune des ´equations : 2 Exercice 1 : On d´efinit une loi de composition interne dans R par : (3) a·x = b 2 2 ∀(x,y)∈R , ∀(x,y )∈R , (x,y) (x,y ) = xx, xy +y (4) x·a = b 1. Montrez que est associative et poss`ede un ´el´ement neutre. admet une unique solution. 2. D´eterminez l’ensemble P des ´el´ements sym´etrisables. 2. R´eciproquement, soitG est un ensemble non vide muni d’une l.c.i. associative · pour laquelle chacune des ´equations (3) et (4) `a coefficients dans G admet Exercice 2 : On d´efinit pour tout couple (x,y) d’´el´ements de E =]−1,1[ : une unique solution. Montrez que (G,·) est un groupe. x+y x y = 1+xy Sous-groupes 1. Montrez que est une l.c.i. associative et commutative. Exercice 6 : Intersection et union de sous-groupes 2. Pr´ecisez son ´el´ement neutre et ses ´el´ements sym´etrisables. Conclusion? Soit (G,·) un groupe, A, B deux sous-groupes de G. 3. Exprimez pour tout entier naturel n ∈ N et pour tout ´el´ement x de E, 1. Montrez que A∩B est un sous-groupe de G. ⋆n n n x =x ··· x en fonction de (1+x) et (1−x) . 2. Montrez que A∪B est un sous-groupe de G ssi A⊂B ou B⊂A. Groupes Exercice 7 : Produit de deux sous-groupes Soit (G,.) un groupe ab´elien, H et K deux sous-groupes de G.