Exercice N°114: Entiers relatifs, arithmétique

⋆⋆⋆⋆⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Entiers relatifs, arithm´etique Divisibilit´e Nombres premiers entre eux Exercice 1 : R´esoudre dans Z les ´equations suivantes : Exercice 7 : Montrez que pour tout entier n∈N , 2 1. x−1|x+3 1. (n +n)∧(2n+1) = 1 2 2 2. (3n +2n)∧(n+1) = 1. 2. x+2|x +2 3 2 Exercice 2 : R´esoudre dans Z les ´equations suivantes : Exercice 8 : Soit (a,b,c)∈Z tel que a et b sont premiers entre eux. Montrez que a∧bc =a∧c. 1. xy = 2x+3y 1 1 1 2. + = Exercice 9 : Soient a et b deux nombres premiers entre eux. x y 5 1. Montrez que a∧(a+b) =b∧(a+b) = 1. 2 2 3. x −y −4x−2y = 5 2. D´eduisez-en que (a+b)∧ab = 1. 3 Exercice 3 : Soit (a,b,n)∈ (N ) . On note q le quotient de la division euclidienne n Exercice 10 : Soit n∈N. de a− 1 par b. D´eterminez le quotient de la division euclidienne de ab − 1 par n+1 2 b . 1. Montrez qu’il existe un couple (a ,b )∈N , unique tel que n n √ √ n (1+ 2) =a +b 2. PGCD et PPCM n n Exercice 4 : D´eterminez le PGCD de a et b et ´etablissez une ´egalit´e de Bezout 2. Montrez que a et b sont premiers entre eux. n n lorsque 1. a = 33, b = 24 Exercice 11 : On consid`ere la suite (F ) d´efinie par les relations n n∈N 2. a = 37 et b = 27 F = 0, F = 1, et∀n∈N , F =F +F 0 1 n+1 n n−1 3. a = 270 et b = 105. Les F sont des nombres entiers naturels appel´es nombres de Fibonacci. n 2 Exercice 5 : R´esolvez dans Z les ´equations suivantes : 2 n 1. Montrez que pour tout entier naturel n ∈ N , F F − F = (−1) . n+1 n−1 n 1.