Exercice N°113: Entiers naturels, dénombrement

⋆⋆⋆⋆⋆⋆≃⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Entiers naturels, d´enombrements Propri´et´es de N, r´ecurrence 4. Combien existe-t-il de couples (A,B) tels que A∩B =∅ et A∪B =E? Exercice 1 : D´emontrez que pour tout entier n≥ 1, n(2n+1)(7n+1) est divisible Exercice 8 : Soit (n,p) ∈ N ×N . On note S le nombre de surjections de F n,p n par 6. sur F . p 1. D´eterminez S lorsque n,p Exercice 2 : Montrez que pour tout entier n≥ 2, – n≤p 1 1 3n – lorsque p = 1 et n∈N 1+ +···+ > . 2 2 2 n 2n+1 2. Pour k∈F , on note A ={f :F →F |f est surjective, et f(1) =k}. p k n p D´emontrez que Card (A ) =S +S et d´eduisez-en que k n−1,p n−1,p−1 n+1 Exercice 3 : Montrez que ∀n∈N ,1!3! ···(2n+1)!≥ (n+1)! . S =p [S +S ] n,p n−1,p n−1,p−1 Exercice 4 : D´emontrez que pour tout entier n≥ 1 la propri´et´e suivante est vraie : Pour tout n-uplet (a ,...,a ) de r´eels sup´erieurs ou ´egaux `a 1 , 3. D´eduisez-en finalement la formule : 1 n p n−1 X 2 (a ×···×a +1)≥ (a +1)×···×(a +1). p 1 n 1 n p−k n S = (−1) k n,p k k=0 Exercice 5 : Le but de l’exercice est de d´eterminer l’ensembleE des applications f :N→N v´erifiant : Exercice 9 : Soit (n,p)∈N ×N pour tout entier n∈N, f◦f(n) ⇐⇒ 25 > 24. Donc n+1 4 4 4 5 (n+2) k=1 la propri´et´e est v´erifi´ee pour n = 2. 2n+3 Y • H´er´edit´e soit n≥ 2 tel que (n+2) n+2 k=n+3 1 1 3n ≥ (n+2)! × 1+ +···+ > . n+1 2 2 (n+2) 2 n 2n+1 n+2 ≥ (n+2)! On a alors 1 1 1 3n 1 1+ +···+ + > + 2 2 2 2 2 n (n+1) 2n+1 (n+1) n+1 • Ccl.