Exercice N°112: Notions de base

∁∁∁ MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 9 d´ecembre 2011 NOTIONS DE BASE Ensembles f est injective si et seulement si f est surjective. Exercice 1 : Soit E = {a,b,c} un ensemble. Les assertions suivantes ont-elles un Images directes et r´eciproques sens? 1. {a}∈E Exercice 9 : Soient A,B∈P(E) et f :E→F une application. D´emontrez que 1. a∈E 3. a⊂E 1. A⊂B⇒f(A)⊂f(B). 2. ∅⊂E 4. ∅∈E 2. {∅}⊂E 2. f(A∪B) =f(A)∪f(B). Exercice 2 : Soit A et B deux parties d’un ensemble non vide E. D´emontrez que 3. f(A∩B)⊂f(A)∩f(B). A⊂B ⇐⇒ A∩B =A ⇐⇒ A∪B =B ⇐⇒ B⊂ A. E E Exercice 10 : Soient C,D∈P(F) et f :E→F une application. D´emontrez que 1 1 ¯ ¯ Exercice 3 : Soient A et B des parties d’un ensemble E. D´emontrez que 1. C ⊂D⇒f (C)⊂f (D), 1 1 1 ¯ ¯ ¯ 2. f (C∪D) =f (C)∪f (D), A =B si et seulement si A∪B =A∩B. 1 1 1 ¯ ¯ ¯ 3. f (C∩D) =f (C)∩f (D). Exercice 4 : Soient A,B,C ∈P(E) des parties d’un ensemble E. Exercice 11 : Soit f :E→F une application. Montrez que 1. Exprimez les fonctions indicatrices de A∩B, A et de A\B `a l’aide de 1I et E A 1I . En d´eduire les indicatrices de A∪B et de AΔB = (A\B)∪(B\A). B f est injective si et seulement si pour toutes parties A et B de E, 2. D´emontrez que AΔ(BΔC) = (AΔB)ΔC. f(A∩B) =f(A)∩f(B) 3. D´emontrez que pour toute partieA deE, il existe une unique partieX ∈P(E) telle que AΔX =∅.