Exercice N°110: Coniques

⋆′′′⋆ MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 27 novembre 2011 CONIQUES Propri´et´es des coniques Exercice 8 : Pour tout λ∈R on consid`ere la courbeC d’´equation cart´esienne : λ 2 2 x +2λxy+y −2x+2y = 0 Exercice 1 : SoitD une droite du plan et F un point n’appartenant pas `aD. 1. Montrez que par tout point M ∈P\(D∪{F}) passe une unique coniqueC de 1. D´eterminez les points communs a` toutes ces coniques. directriceD et de foyer F. 2. Discutez la nature deC suivant la valeur de λ. λ 2. Pr´ecisez la nature deC suivant les positions de M. 3. Quel lieu d´ecrivent les centres de ces coniques? Exercice 2 : Soit D une droite et M un point du plan (non situ´e sur D). Quel Exercice 9 : D´eterminez la nature, les ´el´ements caract´eristiques et repr´esentez les ensemble d´ecrivent les foyers des paraboles de directriceD passant par M ? coniques d’´equations suivantes : 2 2 2 2 1. 3x +4y −6x+16y+7 = 0 6. x −xy+y = 1 Exercice 3 : Soit H une hyperbole. On suppose que les asymptotes de H sont or- √ 2 2 2 2 thogonales. Montrez queH est d’excentricit´e e = 2. 7. 5x +y −10x+4y+4 = 0 2. 4y −x −2x−8y = 1 √ Vocabulaire : on dit queH est une hyperbole ´equilat`ere. 2 2 2 2 3. 5x +7y +2 3xy = 4 8. x −4y +4x+8y−4 = 0 √ 2 2 2 4. x +xy+y = 1 9. x + 3xy+x = 2 + Exercice 4 : SoientD une droite, A∈P\D et d∈R . √ √ 2 2 2 2 5. 2x + 3xy+y = 1 10. x +2xy+y +4 2(x−y) = 0 D´eterminez le lieu des points M tels que AM +d(M,D) =d.