Exercice N°109: Courbes planes

⋆ MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 17 novembre 2012 ´ ´ COURBES PLANES PARAMETREES (I) Courbes d’´equation y = f(x) Exercice 4 :  1   x = 2 Exercice 1 : Etudiez et repr´esentez les courbes d’´equations cart´esiennes y =f(x), t −t 1. Etudiez la courbe γ d´efinie par t  ou`  y = 2 √ t −1 2 1. f(x) = x +3x−4. 2. Montrez que γ poss`ede un point double. 2 2. f(x) = sin x+cosx. 3. V´erifiez que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. x 3. f(x) =x+ln(1+e ). Exercice 5 : 2 Courbes en coordonn´ees cart´esiennes x = t −t 1. Etudiez la courbe γ d´efinie par y = t−1/t Exercice 2 : Etudiez et repr´esentez les courbes param´etr´ees d´efinies par 2. Montrez que γ admet une parabole asymptote. Pr´ecisez les positions relatives   de γ et de cette parabole.    3   x = cos3t x = cos t 1. 5. Courbes d’´equation ρ = ρ(θ)    3   y = sin2t y = sin t   Exercice 6 : Etudiez et repr´esentez les courbes d’´equation polaire : 2   1−t    x = x = t−tht 2 p 1+t 6. 2. 5. ρ = 1+cosθ 1. ρ = cos(2t) 3   t 1    y = y = 2 cht 1+t sin(3θ)   6. ρ = tanθ 2. ρ =   sinθ 1    x = t−sint 2 x = sin θ t 7. 3. 3. ρ = cos3θ 7. ρ = 3   t +2 cosθ    y = 1−cost y = cos2θ t 4. ρ = cos4θ   8. ρ = cosθ   t  3   x = x = 3t−t 3 1+t 8. 4. Exercice 7 : Cisso¨ıde droite 2   t  2 2 4   y = sin θ y = 2t −t 3 1+t 1. Etudiez la courbe d’´equation polaire ρ = . cosθ ( 2. Soit M un point de cette courbe, diff´erent du pˆole.