Exercice N°105: Fonctions usuelles

⋆⋆⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Fonctions usuelles (I) Fonctions logarithmes, puissances et exponentielles Fonctions hyperboliques r´eciproques Exercice 1 : Etudiez les limites suivantes : Exercice 8 : Simplifiez les expressions suivantes : 1 1 1. ch(Argshx) 2. th(Argshx) 3.sh(2Argshx) 2 x −1 x 1. lim x 6. lim x . 4. sh(Argchx) 5. th(Argchx) 6.ch(Argthx) x→1 x→+∞ „ « tanx √ 1 x 2. lim . 7. lim x Exercice 9 : D´eterminez l’ensemble de d´efinition et simplifiez l’expression de f(x) lorsque x→0 + sinx x→0 „ « ! x r 1 1 ` √ ´ chx+1 x 3. lim ln . 8. lim x . 2 1. f(x) = Argsh 2x x +1 3. f(x) = Argch + x→0 x x→0 2 “ ” x x a + (x ) “ ” 4. lim 1+ , a∈ R . 9. lim x . √ 2 x→+∞ + 2 x x→0 2. f(x) = Argch(2x −1) 4. f(x) = Argsh x −1 x−1 x x 5. lim(lnx) 10. lim (x ) . + x→1 x→0 Exercice 10 : R´esolvez l’´equation Argshx+Argchx = 1. Exercice 2 : R´esolvez les ´equations suivantes : x 1−x Trigonom´etrie hyperbolique 1. e +e =e+1 √ ` ´ √ x 4 2 x Exercice 11 : Lin´earisez ch x sh x. 2. x = x 2x x−1/2 x+1/2 2x−1 3. 2 −3 = 3 −2 n X 2x x 2 4. e −4me +2(m+1) = 0 (discutez suivant la valeur de m∈ R.) Exercice 12 : Soient n∈ N, (a,x)∈ R . Calculez la somme S = sh(a+kx). n k=0 Exercice 3 : R´esolvez les syst`emes d’´equations suivants : n   X ch(kx) x 2 2 8 = 10y x −y = 12 Exercice 13 : Pour n∈ N et x∈ R , calculez la somme S = . n 1. 3. k x ch (x) 2 = 5y lnx−lny = ln2 k=0   x y e ×e = a x+y = 1 2. 4. x y Exercice 14 : xy = 1 2 −3 = 0 2 1 1.