Exercice N°104: Fonctions numériques, rappels

⋆⋆⋆ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Fonctions num´eriques : g´en´eralit´es Injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e des applications Int´egrales et primitives Exercice 1 : Soit f : R→ R la fonction d´efinie pour tout nombre r´eel x par : Exercice 6 : Apr`es avoir v´erifi´e que les int´egrales suivantes ont un sens, calculez-les : Z Z Z 2 3 1 t+1 dt 2x 2 1. |t −3t+2|dt 5. dt. f(x) = . 3. 2 2 t lnt t +2t+4 1+x 0 0 e Z Z Z x π/4 π/2 1. En discutant suivant la valeur de y, r´esoudre dans R l’´equation : dt sint 1 5 4. dt. 2. dt. 6. sintcos tdt. 2 3 1+t (1) f(x) =y cos t 1 0 0 2. L’application f est-elle injective, surjective, bijective? Que vaut f(R)? Exercice 7 : A l’aide d’une int´egration par parties, d´eterminez les int´egrales ou primitives sui- 3. Montrez quef r´ealise une application -not´eef - de [−1,1] dans lui-mˆeme.f est-elle bijec- | | vantes : Z Z Z tive? x 1 1 2 2 1 1. t costdt 3. ln(1+t )dt 5. Arctantdt. 0 0 Z Z Z Exercice 2 : Soit f :]−1,1[→ R d´efinie pour tout nombre r´eel x par : 4 x x p ` ´ lnt t 2 2. te dt. 4. dt 6. ln t+ t +1 dt. 2x t 0 f(x) = 2 1−x Montrez que f est bijective et d´eterminez son application r´eciproque. ´ Etude des variations 1 3 x +x−2 Exercice 3 : Soit f : [−1/2,+∞[→ R la fonction d´efinie par f(x) = √ . 2 Exercice 8 : On note f(x) = x +x+1 x 1. Montrez que f r´ealise une bijection sur un intervalle J `a pr´eciser. 1. D´eterminez les ensembles de d´efinition, continuit´e et d´erivabilit´e de f. 2.