Exercice N°1

′′′6′⋆⋆′ ´ MPSI Lycee Rabelais Semaine du 12 aoutˆ 2011 Nombres complexes `emes Notations alg´ebrique et exponentielle Racines n Exercice 1 : Parmi les assrtions suivantes, lesquelles sont vraies?? Exercice 11 : R´esoudre dans C les ´equations suivantes 5 ! ! 1. z = 1. n n n n Y Y X X √ 7 1. Re a = Re(a ) 1. Im a = Im(a ) 2. z = 1+i 3. i i i i i=1 i=1 6 i=1 i=1 3. z z¯= 1. 1 z¯ 2. si z = 0, alors = 2. Re(i z) =−Im(z) 2 z |z| Exercice 12 : D´eterminez les racines carr´ees de 9+40i et les racines quatri`emes de−7−24i. “ ” z Imz 3. si λ∈ R, Im(λz) = λImz 3. Im = w Imw Exercice 13 : 1. Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes Exercice 2 : Mettez sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants : √ „ « 2 1+i 3 1−i 3+6i 1+i 1−7i 2+5i 2−5i u = √ , v = √ z = , z = + , z = + . 1 2 3 1−i 3 1+i 3 3−4i 2−i 4+3i 1−i 1+i 6 4 2. R´esoudre dans C les ´equations z = u et z = v. Exercice 3 : Mettez sous forme exponentielle les nombres complexes : √ √ 3 4 n−1 Y 3 (1+i) (1−i) ( 6−i 2)(1+i) 2iπ/n k n−1 z = , z = + , z = . 1 2 3 Exercice 14 : Soit n≥ 2. On note ω = e . Montrez que ω = (−1) . 2 1−i 1−i (1−i) 1−i k=0 Exercice 4 : Soient θ,θ deux nombres r´eels. ´ Equations polynomiales θ+θ iθ iθ i iθ 2 1. Transformez e +e en factorisant par e sous la forme ρe ou` ρ et θ sont des r´eels. Exercice 15 : R´esoudre dans C les ´equations suivantes 2. En d´eduire la forme exponentielle des nombres complexes 2 1. z −(2+3i)z+3i−1 = 0. iπ/3 4iπ/3 z = 1+e , z = e −1 1 2 6 3 2.