Exercice Daniel Reisz Auxerre Quel élève n'a pas eu au moins une fois dans sa vie mathématique la tentation d'écrire f g f g Y a t il des fonctions pour lesquels cette règle est vraie Que peut on en dire Exercice Georges Lion Wallis Soit deux groupes finis G et G et une bijection de G sur G tels que pour tout x G alors x soit de même ordre que x Se peut il que ne soit pas un isomorphisme Solutions Exercice Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint Martin Paris Soit une droite et O un point extérieur la droite On considère un nombre indéterminé de points Ai de tels que les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+1 soient tous de même rayon r Démontrer que quel que soit k les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+k sont tous de même rayon rk

Exercice 480-3 (Daniel Reisz – Auxerre) Quel élève n'a pas eu au moins une fois dans sa vie mathématique la tentation d'écrire (f g)? = f ?g? ? Y a-t-il des fonctions pour lesquels cette règle est vraie ? Que peut-on en dire ? Exercice 480-4 (Georges Lion – Wallis) Soit deux groupes finis G et G? et une bijection ? de G sur G? tels que, pour tout x ? G, alors ? (x) soit de même ordre que x. Se peut-il que ? ne soit pas un isomorphisme ? Solutions Exercice 478-1 (Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint-Martin – Paris) Soit (∆) une droite et O un point extérieur à la droite. On considère un nombre indéterminé de points Ai de (∆) tels que les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+1 soient tous de même rayon r. Démontrer que, quel que soit k, les cercles inscrits dans les triangles OAiAi+k sont tous de même rayon rk. Solution de Raymond Raynaud (Digne) 1) Soit H le projeté de O sur ∆. Posons OH = h. Soit A l'un quelconque des points Ai et A? le point Ai+1. Soit r le rayon du cercle inscrit dans le triangle OAA? et s = h ? r. Désignons par a et a? les angles et Si h et r sont fixés, la donnée de a entraîne celle de a?.

• rsh rs


• ?pqt4 ?


• triangles oaiai


• rs h1


• rayon du cercle


• ??? ???h


• oi sin


• tan