Devoir Surveillé N°07

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr lundi 6 mai 2013 ´CONCOURS BLANC DE MATHEMATIQUES dur´ee de l’´epreuve 4 heures LISEZ-MOI! Le sujet couvre une bonne partie du programme! Il est forc´ement un peu long (une qua- rantaine de questions) mais le barˆeme en tient compte! Plus que jamais il est important de lire tout le sujet avant de d´emarrer et de d´ecider d’une strat´egie efficace! Bon courage!! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF EXERCICE 1 : Polynˆomes de Legendre Mots-cl´es : famille de polynˆ omes, formule de Leibniz, th´eor`eme de Rolle......≈ 5 pt `PROBLEME 1 : Alg`ebre lin´eaire dans R [X]2 Mots-cl´es : applications lin´eaires, bases d’un espace vectoriel, calcul matriciel.≈ 8 pt `PROBLEME 2 : Analyse Mots-cl´es : ´etude de fonction, ´equation diff´erentielle, suites d´efinies implicitement, courbe param´etr´ee..............................................................≈ 10 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 EXERCICE 1 : Polynˆomes de Legendre Partie I. D´efinition et premi`eres propri´et´es i`emeSoit n∈N. On d´efinit le n polynˆome de Legendre par n 2X1 n n−k kL (X) = (X−1) (X +1)n n2 k k=0 1. Explicitezenlesd´eveloppantsuivantlespuissancescroissantesdeX,lespolynˆomesL (X),0 L (X), L (X) et L (X).1 2 3 2. D´eterminez une relation simple entre L (X) et L (−X).n n 3. Pour tout entier naturel non nul n∈N , on d´efinit le polynˆome F ∈R[X] parn 2 n n nF (X) = (X −1) = (X−1) (X +1) .