Devoir Surveillé N°06: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 10 mars 2012 ´DEVOIR SURVEILLE N˚06 dur´ee de l’´epreuve 4 heures LISEZ-MOI! Le sujetse compose de deux probl`emes, assez th´eoriques et de deux exercices plus clas- siques. ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF `PROBLEME 1 : Fonctions uniform´ement continues Mots-cl´es : fonctions continues, uniform´ement continues, lipschitziennes .....≈ 7 pt `PROBLEME 2 : M´ethode de Newton 2Mots-cl´es : fonctions de classeC , th´eor`eme des accroissements finis .........≈ 5 pt EXERCICE 1 : Endomorphismes born´es Mots-cl´es : ´equation fonctionnelle, caract´erisations s´equentielles..............≈ 4 pt ´EXERCICE 2 : Etudes locales de fonctions Mots-cl´es : calculs de limites, ´equivalents.....................................≈ 4 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 `PROBLEME 1 : Fonctions uniform´ement continues, Mines MP 06 Dans ce probl`eme, I d´esigne un intervalle d’interieur non vide. On consid`ere f : I → R une fonction. Partie I. Cons´equence s´equentielle de l’uniforme continuit´e 1. On suppose que f :I → R est uniform´ement continue dans I. a. Rappelez la d´efinition quantifi´ee de cette propri´et´e. N Nb. Soit (x )∈I , (y )∈I telles que lim(y −x ) = 0. Montrez que limf(y )−f(x ) = 0.n n n n n n n n Nc. D´eduisez-en que si (x )∈I est convergente vers x∈R, alors limf(x )−f(x ) = 0.n n+1 n n 1 2.