Devoir Surveillé N°06

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 23 mars 2013 ´DEVOIR SURVEILLE N˚06 dur´ee de l’´epreuve 4 heures (pas moins;-)) LISEZ-MOI! Le sujet est plutˆot court : il se compose de trois exercices dont les th`emes sont tr`es bien connus. Vous devez lire tr`es attentivement le texte et bien suivre l’enchaˆınement logique des questions!! Il est parfois question de poynˆomes, mais hormis la notion de degr´e, aucune connaissance sp´ecifique sur les polynˆomes n’est n´ecessaire. Bon courage!! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF ´EXERCICE 1 : Etude d’une suite r´ecurrente Mots-cl´es : monotonie et comportement asymptotique d’une suite r´ecurrente..≈ 7 pt ´EXERCICE 2 : Etude des racines d’une suite de polynˆomes Mots-cl´es : suite d´efinie implicitement .......................................≈ 7 pt EXERCICE 3 : Polynˆomes d´efinis par une relation de r´ecurrence Mots-cl´es : th´eor`eme de Rolle, d´eriv´ees successives, formule de Leibniz .......≈ 6 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 ´EXERCICE 1 : Etude d’une suite r´ecurrente On consid`ere la suite de nombres r´eels (u ) d´efinie parn n∈N +• u =a, a∈ R0 2• ∀n∈ N, u =u +un+1 n n Partie I. Convergence de (u )n n∈N 1. Montrez que cette suite est strictement positive et monotone. 2. Montrez que cette suite est divergente vers +∞. ´Partie II. Etude d’une suite auxiliaire 1 On d´efinit la suite (v ) par :∀n∈ N, v = ln(u )n n∈N n nn2 1 1 1.