Devoir Surveillé N°05: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 4 f´evrier 2012 ´DEVOIR SURVEILLE N˚05 dur´ee de l’´epreuve 4 heures LISEZ-MOI! Le sujet est de difficult´e et de longueur raisonnable : il se compose de 2 probl`emes et 2 exercices. Vous ferez bien attention `a la construction de vos raisonnements. Pour chaque th´eor`eme quevousutiliserez, v´erifiez leshypoth`eses, citerlenomduth´eor`eme et´enoncezses conclu- sions. Pour les d´emonstrations en ε, vous serez tr`es rigoureux sur la gestion des variables. Bref, soyez ´CONCIS = (COURT et PRECIS)! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF ` ´PROBLEME 1 : Equation de PELL-FERMAT Mots-cl´es : lci, groupe, it´er´es.................................................≈ 7 pt `PROBLEME 2 : Moyenne de C´esaro Mots-cl´es : suites convergentes, thm de C´esaro ...............................≈ 7 pt EXERCICE 1 : Th´eor`eme de point fixe Mots-cl´es : bornes sup´erieure, dichotomie ....................................≈ 4 pt EXERCICE 2 : Une ´equation diophantienne Mots-cl´es : sont dans le titre .................................................≈ 2 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 ` ´PROBLEME 1 : Equation de PELL-FERMAT 2 2Soit G ={(a,b)∈N×Z | a −2b = 1}. On d´efinit une loi de composition× sur G par ∀((a,b),(c,d))∈ G×G, (a,b)×(c,d) = (ac+2bd,ad+bc) ´Partie I. Etude de (G,×) 1. V´erifiez que × est une loi de composition interne dans G. 2. Montrez que × est associative. Est-elle commutative? 3.