Devoir Surveillé N°05

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 9 f´evrier 2013 ´DEVOIR SURVEILLE N˚05 dur´ee de l’´epreuve 4 heures (pas moins;-)) LISEZ-MOI! Le sujet se compose de deux probl`emes sur les suites num´eriques et d’un exercice calcu- latoire sur les limites et ´equivalents de fonctions. Les questions sont tr`es classiques donc vous lisez bien le sujet en entier, rep´erez les questions que vous savez traiter et d´emarrez par celles-l`a! Bon courage!! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF `PROBLEME 1 : Sommes et produits infinis convergents Mots-cl´es : suites convergentes ...............................................≈ 8 pt `PROBLEME 2 : C´esaro’s thm and applications Mots-cl´es : th´eor`eme de convergence en moyenne.............................≈ 7 pt ´EXERCICE 1 : Etudes locales de fonctions Mots-cl´es : limite, ´equivalents de fonctions ...................................≈ 5 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 `PROBLEME 1 : Sommes et produits infinis convergents ⋆ ⋆Soit (u ) une suite de r´eels non nuls, on lui associe la suite (p ) d´efinie par :n n∈N n n∈N nY ⋆∀n∈ N , p = u = u ×···×un k 1 n k=1 Partie I. Une condition n´ecessaire de convergence ⋆ ⋆1. On suppose que le suite (p ) est convergente vers une limite non nulle ℓ ∈ R . Enn n∈N pn+1 ⋆consid´erant le quotient , montrez que la suite (u ) est convergente de limite 1.n n∈N pn 1⋆2. Dans cette question, on suppose que ∀n ∈ N , u = 1 + . Etudiez la convergence den n ⋆(p ) .