Devoir Surveillé N°04: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 7 janvier 2012 ´DEVOIR SURVEILLE N˚04 dur´ee de l’´epreuve 4 heures LISEZ-MOI! Le sujet est assez long : il se compose de 2 probl`emes et 2 exercices. Les deux exercices sont tr`es classiques : vous devez viser un bon rendement sur ces exos. Pour le probl`eme 1 `et l’exercice 1, vous ferez TRES attention `a bien construire vos raisonnements. ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF `PROBLEME 1 : Chemins monotones Mots-cl´es : D´enombrement classique, coefficients du binˆome ..................≈ 7 pt `PROBLEME 2 : Sph`eres et droites de l’espace, d’apr`es ENSTIM 2009 Mots-cl´es : G´eom´etrie dans l’espace, sph`eres droites, coniques ................≈ 5 pt EXERCICE 1 : Compositions d’applications Mots-cl´es : injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e.................................≈ 4 pt EXERCICE 2 : Courbes planes Mots-cl´es : Courbe en polaire, courbe alg´ebrique de degr´e 2 ...................≈ 4 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 `PROBLEME 1 : Chemins monotones Dans tout le probl`eme, n ∈ N est fix´e. Dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e 2 2(O,~ı,~), on consid`ere un quadrillage constitu´e de (n+1) points : E = [0,n]] . On noten A le point sup´erieur droit, de coordonn´ees (n,n), voyez la figure ci-dessous. 4 Un point mobile se d´eplace sur le quadrillage en reliant O `a un point M de ce quadrillage, de coor- 3 donn´ees enti`eres (x,y).