Devoir Surveillé N°04

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 19 janvier 2013 ´DEVOIR SURVEILLE N˚04 dur´ee de l’´epreuve 4 heures (pas moins;-)) LISEZ-MOI! Le sujet – plutˆot assez court – se compose de 4 exercices ind´ependants. Chacun des quatre est bien construit car les questions sont essentiellement de difficul´e croissante : en particulier, vous devriez tous savoir traiter les premi`eres questions les yeux ferm´es! Bon courage!! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF ´EXERCICE 1 : Equation diophantienne Mots-cl´es : arithm´etique et d´enombrement....................................≈ 3 pt EXERCICE 2 : Anneau d’extension quadratique Mots-cl´es : racines complexes, sous-anneau, ´el´ements inversibles d’un anneau.≈ 5 pt EXERCICE 3 : Petit th´eor`eme de Fermat et application Mots-cl´es : arithm´etique, nombres premiers, nombres premiers entre eux .....≈ 6 pt EXERCICE 4 : Sous-groupes additifs de R Mots-cl´es : sous-groupes, borne inf´erieure, partie dense.......................≈ 8 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 ´EXERCICE 1 : Equation diophantienne 2Soit n∈N. On d´efinit l’ensemble E ={(x,y)∈N | 2x+3y =n}.n 2 1. R´esolvez dans Z l’´equation 2x+3y =n. 2. Calculez le cardinal de E .n EXERCICE 2 : Un anneau d’extension quadratique 2Soit α l’une des deux racines complexes du polynˆome P(z) =z +z +2. NB : il n’est pas absolument n´ecessaire d’expliciter α pour traiter l’exercice.