Devoir Surveillé N°01: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 24 septembre 2011 ´DEVOIR SURVEILLE N˚01 dur´ee de l’´epreuve 3 heures LISEZ-MOI! Tout ou presque a d´ej`a ´et´e trait´e dans ce sujet. Prenez 10 minutes au d´ebut de l’´epreuve pour regarder l’ensemble du sujet et rep´erer les parties que vous connaissez bien, ou au contraire les parties qui vous semblent plus difficiles. et d´ebutez par ce que vous savez le mieux faire! ´ ˆCOMPOSITION DE L’EPREUVE ET BAREME APPROXIMATIF ` ´PROBLEME 1 : Equations polynomiales de degr´e 3 Mots-cl´es : racines cubiques, syst`eme somme-produit, racine imaginaire pure, factori- sation, changement d’inconnue.................................................≈ 10 pt i`emesEXERCICE 1 : Racines n de l’unit´e n−1Mots-cl´es : ´equation 1+z +···+z = 0...................................≈ 5 pt EXERCICE 2 : Calculs de sommes trigonom´etriques Mots-cl´es : lin´earisation,´etriques, t´elescopage ..............≈ 5 pt Nb : L’utilisation des calculatrices est interdite. 1 ` ´PROBLEME 1 : Equations polynomiales de degr´e 3 L’objet de ce probl`eme est d’´etudier les m´ethodes qui conduisirent les math´ematiciens italiens i`emedu XVI si`ecle a` introduire les nombres complexes. Contrairement `a ce que l’on pourrait imaginer, les nombres complexes ne sont pas apparus lors de la r´esolution des ´equations du deuxi`eme degr´e, mais lors de l’´etude des ´equations de degr´e 3.