Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Intégration

cours-cpge - Catherine Laidebeure

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

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Classe préparatoire aux grandes écoles

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Publié par	cours-cpge
Publié le	01 janvier 2011
Nombre de lectures	43
Licence :	En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue	Français

Extrait

Intégration - 1 - ECS 1
INTEGRATION

I – Rappel sur les primitives
1) Définition
Définition : On appelle primitive d’une fonction f sur un intervalle I toute fonction F
dérivable sur I et dont la dérivée est f.
2 2
Exemple : Sur , f (x)= 2x+1 et F(x)= x + x ou F(x)= x + x+1.
On remarque donc qu’il n’y a pas unicité.
Théorème : Toute fonction dérivable sur un intervalle I est primitive de sa dérivée.
Exemple : Pour montrer que la fonction F définie par ∀x∈]0,+∞[ F(x)= x ln x− x est
primitive de la fonction logarithme, il suffit de montrer que ∀x∈]0,+∞[ F'(x)= ln x .
2) Unicité
Théorème : Si F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle I, quelque soit le réel k,
la fonction G définie par ∀x∈ I G(x)= F(x)+ k est aussi une primitive de f.
C’est évident car ∀x∈ I G'(x)= F'(x)= f (x) .
Théorème : Si F et G sont deux primitives d’une même fonction f sur un même intervalle I,
elles diffèrent d’une constante : il existe un réel k tel que ∀x∈ I G(x)= F(x)+ k .
Démonstration : Soient F et G deux primitives de f sur I. Donc G'= F'= f . Donc la
fonction H = G− F a une dérivée nulle sur I, donc est constante sur I (à la fois croissante
car H '(x)≥ 0 et décroissante car H '(x)≤ 0 ). Donc il existe k tel que ∀x∈ I H (x)= k .
En conséquence, si f admet une primitive F, elle en admet une infinité et elles sont toutes de
la forme F+ k avec k constante réelle. De plus :
Théorème : Soit une fonction f qui admet des primitives sur un intervalle I, un élément a de
I et un réel quelconque b. Alors il existe une unique primitive F de f qui vérifie F(a)= b .
Démonstration : f admet au moins une primitive G.
F doit être une primitive de f. Donc, il existe k tel que ∀x∈ I F(x)= G(x)+ k ..
F(a)= b⇔ k = b− G(a) . Il y a donc existence et unicité de k et de F.
1
Exemple : ln est, sur ]0,+∞[ , l’unique primitive qui s’annule en 1 de la fonction xa .
x
3) Calcul de primitives
Tableau des primitives usuelles :
I = f (x)= 0 F(x)= k
I = f (x)= a F(x)= ax+ k
1α α+1I =]0,+∞[ (au moins) f (x)= x (α≠−1) F(x)= x + k
α+1
1
I =]0,+∞[ ou I =]−∞,0[ f (x)= F(x)= ln x + k
x
x xI = f (x)= e F(x)= e + k
I = f (x)= sin x F(x)=− cos x+ k
I = f (x)= cos x F(x)= sin x+ k
π 1  2
I =− + kπ / k∈ f (x)= = 1+ tan x F(x)= tan x+ k   22  cos x
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeIntégration - 2 - ECS 1
1 2
I =−{kπ / k∈} f (x)= = 1+ cotan x F(x)=−cotan x+ k
2sin x
1
I = f (x)= F(x)= Arctan x+ k
2
1+ x
Arcsin x+ k1
I =]−1,1[ f (x)= F(x)= 
2 − Arccos x+ k1− x
2 21 2 3 2Exemple : f (x)= x = x . Donc F(x)= x + k = x x+ k .
3 3
1 1−2 −1f (x)= = x . Donc F(x)=−x + k =− + k .
2 xx
Opérations sur les primitives : En notant F, U et V des primitives des fonctions f, u et v, si a
et k sont des réels :
Si f = u+ v , alors F = U +V + k . Si f = au , alors F = aU + k .
1 53 2 4 3 2Exemple : f (x)= x − 5x + 4x−1. Donc F(x)= x − x + 2x − x+ k .
4 3
Méthode pour intégrer un polynôme : développer, puis intégrer terme à terme.
2 3 54
Mais ce n’est pas toujours possible : f (x)= x (x −1) .
Primitives obtenues par composition de fonctions :
u u
Si f = u'e , alors F = e + k .
1α α+1 Si f = u'u avec α≠−1, alors F = u + k .
α+1
u'
Si f = , alors F = ln u + k .
u
Si f = u 'sin u , alors F =− cosu+ k .
Si f = u 'cosu , alors F = sin u+ k .
u '
Si f = , alors F = Arctan u+ k .
21+ u
u '
Si f (x)= , alors F = Arcsin u+ k ou F =− Arccosu+ k .
2
1− u
2 3 54 3 2Exemple : f (x)= x (x −1) . Si l’on pose u(x)= x −1, alors u'(x)= 3x et
1 1 1 1 12 54 55 3 55x = u'(x) . Donc f = u'u et F = × u + k . Donc F(x)= (x −1) + k .
3 3 3 55 165
Parfois, il faut faire apparaître artificiellement u' .
154
Exemple : f (x)= (4x−1) . Si l’on pose u(x)= 4x−1, alors u'(x)= 4 et 1= u'(x) .
4
1 1 1 154 55 55
Donc f = u'u et F = × u + k . Donc F(x)= (4x−1) + k .
4 4 55 220
Méthode pour intégrer une fraction rationnelle : On la décompose en somme de fractions
rationnelles plus simples dont on saura trouver des primitives.
2 2
2x + x+ 3 2x + x+ 3
Exemple : f (x)= = .
3 2 2
x − x + x−1 (x−1)(x +1)
a bx+ c
f (x)= +On cherche a, b et c réels tels que pour tout x : .
2x−1 x +1
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeIntégration - 3 - ECS 1
a+ b= 22
a bx+ c (a+ b)x + (c− b)x+ (a− c) 
+ = . Donc il suffit que c− b= 1 . 2 2x−1 x +1 (x−1)(x +1) a− c= 3
3 x
On résout le système, et on trouve a= 3, b=−1 et c= 0 : f (x)= − .
2x−1 x +1
3 u'
est de la forme 3 avec u(x)= x−1. Donc une primitive est 3ln x−1 .
x−1 u
x 1 u' 12 2 est de la forme × avec u(x)= x +1. Donc une primitive est ln x +1 .
2 2 u 2x +1
1 2Donc F(x)= 3ln x−1 − ln x +1 + k .
2
Méthode pour intégrer un polynôme trigonométrique : On linéarise.
Exemple :
4
ix −ix e + e 1 1 1 34 4ix 2ix −2ix −4ixf (x)= cos x= = (e + 4e + 6+ 4e + e )= cos 4x+ cos 2x+   2 16 8 2 8 
1 1 3
Donc : F(x)= sin 4x+ sin 2x+ x+ k .
32 4 8
Autres fonctions : Il faut trouver une astuce pour se ramener à une primitive que l’on sait
calculer.
−x2 2 2e u' −x
Exemple : f (x)= = = . Donc f =−2 avec u(x)= e −1.
x x −x −x u1− e e (e −1) e −1
−xDonc F(x)=−2ln e −1 + k .
II – Intégrales de fonctions en escalier
L’objectif est de calculer des aires de parties bornées du plan.
On choisit un repère, et on se ramène au calcul de l’aire du domaine situé sous la courbe
d’une fonction f positive et bornée sur [a,b].
Le premier réflexe est d’encadrer cette aire par des aires faciles à calculer : des rectangles.
Puis on affine la majoration et la minoration par des sommes d’aires de rectangles, ce qui
revient à introduire des fonctions en escaliers qui majorent et qui minorent f.
Dans tout ce paragraphe, on considère un intervalle [a,b] avec a< b .
1) Fonction en escalier
Définition : On appelle subdivision de l’intervalle [a,b] toute suite finie strictement
croissante σ= (x ) de réels de [a,b] tels que : x = a et x = b . k 0≤k≤n 0 n
La subdivision sera notée σ= (x ,..., x ) . 0 n
Définition : Le pas de la subdivision σ= (x ,..., x ) est μ(σ)= Sup x − x / 0≤ k ≤ n−1 . { }0 n k+1 k
La subdivision est régulière si l’on partage le segment en n segments de même longueur,
b− a b− a
donc de pas . Alors : ∀k∈P0,nT x = a+ k . k
n n
Définition : Une fonction ϕ définie sur de l’intervalle [a,b] est en escalier s’il existe une
subdivision σ= (x ,..., x ) de [a,b] telle que soit constante sur tous les intervalles ϕ0 n
]x , x [ pour k∈P0, n−1T. La subdivision σ est dite adaptée à . ϕk k+1
Exemple : ϕ(x)= Ent(x) sur [0,3] pour la subdivision σ= (0,1,2,3) adaptée à ϕ .
On peut remarquer qu’il n’y a pas unicité de la subdivision adaptée σ .
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeIntégration - 4 - ECS 1
1 1 5 7
Dans l’exemple, σ'= (0, ,1,2,3) ou σ"= (0, ,1, ,2, ,3) sont aussi adaptées.
2 2 4 3
Remarque : Si ϕ est une fonction en escalier sur [a,b] et σ une subdivision adaptée à ϕ ,
toute subdivision obtenue en ajoutant à σ un nombre fini de points est aussi une
subdivision adaptée à . ϕ
2) Intégrale d’une fonction en escalier
Soit ϕ une fonction en escalier sur [a,b] et σ= (x ,..., x ) une subdivision adaptée à ϕ . 0 n
Donc, pour k∈P0, n−1T, ϕ est constante sur tous les intervalles ]x , x [ : ϕ(x)= c . k k+1 k
n−1
On considère le réel : I (ϕ)= (x − x )c . σ ∑ k+1 k k
k=0
On peut remarquer que si l’