Cours de mathématiques - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Suites numériques

cours-cpge - Catherine Laidebeure

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Ce cours complet de mathématiques est composé de 21 chapitres : (0) Sommaire (1) Ensembles (2) Applications et Fonctions (3) Sommes et Produits (4) Polynômes (5) Suites numériques (6) Séries numériques (7) Limites et continuité (8) Calcul différentiel (9) Intégration (10) Développements limités (11) Fonctions de deux variables (12) Dénombrement (13) Espaces probabilisés (14) Variables aléatoires discrètes (15) Opérations sur les variables aléatoires discrètes (16) Statistique descriptive (17) Systèmes d’équations linéaires (18) Matrices (19) Espaces vectoriels (20) Applications linéaires (21) Réduction

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Publié par	cours-cpge
Publié le	01 janvier 2011
Nombre de lectures	809
Licence :	En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue	Français

Extrait

Suites numériques - 1 - ECS 1
SUITES NUMERIQUES

I – Suites numériques usuelles
Dans tous les théorèmes, pour ne pas surcharger les notations, les suites seront définies
sur , mais dans les exemples, elles seront parfois définies sur *. Dans le cas des
suites arithmétiques et géométriques, les deux expressions du terme général sont
données. Et comme les autres suites les utilisent, la transposition se fera facilement.
1) Rappels sur les suites arithmétiques
Définition : Une suite (u ) est arithmétique s’il existe un réel b tel que : n
∀n∈ u = u + b . Le réel b est la raison de la suite arithmétique. n+1 n
Le réel b ne dépend pas de n. Les suites arithmétiques sont donc caractérisées par le
fait que la différence de deux termes consécutifs est constante.
En raisonnant par récurrence, on démontre le théorème suivant :
Théorème : Si la suite (u ) est arithmétique de raison b, alors : n
• si le premier terme est u , alors : u = u + nb . ∀n∈0 n 0
• si le premier terme est u , alors : u = u + (n−1)b . ∀n∈ *1 n 1
Plus généralement, pour tous les entiers n et p, on a : u = u + (n− p)b . n p
En effet : u = u + nb et u = u + pb , donc u − u = (n− p)b . n 0 p 0 n p
Cette formule permet de retrouver les deux expressions du terme général données
précédemment.
2) Rappels sur les suites géométriques
Elles sont analogues aux suites arithmétiques en remplaçant l’addition par la
multiplication.
Définition : Une suite (u ) est géométrique s’il existe un réel tel que : a≠ 0n
∀n∈ u = au . Le réel a est la raison de la suite géométrique. n+1 n
Le réel a ne dépend pas de n. Les suites géométriques sont donc caractérisées par le
fait que le quotient de deux termes consécutifs est constant (dans le cas où les termes
de la suite sont non nuls).
En raisonnant par récurrence, on démontre le théorème suivant :
Théorème : Si la suite (u ) est géométrique de raison a, alors : n
n
• si le premier terme est u , alors : u = a u . ∀n∈ n 00
n−1
• si le premier terme est u , alors : ∀n∈ * u = a u . n 11
n− pPlus généralement, pour tous les entiers n et p, on a : u = a u n p
n nu a u an p n 0 n− pEn effet : u = a u et u = a u , donc = = = a . n 0 p 0 p pu a u ap 0
Le calcul est analogue si le premier terme est u . 1
3) Suites arithmético-géométriques
Ces deux types de suites permettent d’étudier un cas un peu plus général que l’on
rencontre souvent en probabilités :
Définition : Une suite (u ) est arithmético-géométrique s’il existe des réels a et b n
( a≠ 0 ) tels que : ∀n∈ u = au + b . n+1 n
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeSuites numériques - 2 - ECS 1
Les réels a et b sont constants (indépendants de n).
Si a= 1, la suite est arithmétique de raison b.
Si b= 0 , la suite est géométrique de raison a.
Dans tous les autres cas, elle n’est ni arithmétique, ni géométrique, et donc ne possède
pas de raison ! On va déterminer l’expression de son terme général.
Soit (u ) une suite arithmético-géométrique définie par son premier terme u et la n 0
relation de récurrence : ∀n∈ u = au + b avec a≠ 1. n+1 n
On commence par résoudre l’équation x= ax+ b . Puisque a≠ 1, cette équation
b
possède une unique solution α= appelée point fixe de la suite. Donc α= aα+ b .
1− a
On introduit alors une suite auxiliaire en posant : ∀n∈ v = u −α . Donc : n n
∀n∈ v = u −α= (au + b)− (aα+ b)= au + b− aα− b= a(u −α)= av . n+1 n+1 n n n n
Donc la suite (v ) est une suite géométrique de raison a. n
nDonc d’après les résultats sur les suites géométriques : ∀n∈ v = a v . n 0
On connaît u , donc on peut en déduire v = u −α , et donc l’expression de v . 0 0 0 n
Et on calcule u en remarquant que : ∀n∈ u = v +α . n n n
Théorème : Si (u ) est une suite arithmético-géométrique définie par u et n 0
∀n∈ u = au + b avec a≠ 1, l’équation x= ax+ b possède une unique solution n+1 n
α appelée point fixe de la suite et la suite de terme général v = u −α est n n
géométrique de raison a.
La méthode d’étude est donc :
- Déterminer le réel α (point fixe) qui vérifie α= aα+ b .
- Définir la suite de terme général v = u −α . Elle est géométrique de raison a. n n
- En déduire l’expression de v en fonction de n. n
- En déduire l’expression de u en fonction de n. n
Exemple : La suite définie par u = 1 et ∀n∈ u = 3u − 4 est arithmético-0 n+1 n
géométrique avec a= 3 et b=−4 .
Son point fixe α est solution de . Donc . x= 3x− 4 α= 2
On introduit alors une suite auxiliaire en posant : ∀n∈ v = u − 2.
n n
La uite de terme général v est une suite géométrique de raison 3 (mais pas u ). n n
nDonc d’après les résultats sur les suites géométriques : ∀n∈ v = 3 v . n 0
nOr ∀n∈ v = u − 2. Donc v = u − 2= 1− 2=−1. Donc ∀n∈ v =−3 . nn n 0 0
Et d’après ce qui précède : ∀n∈ u = v + 2 .
n n
nDonc l’expression du terme général de la suite est : ∀n∈ u = 2− 3 . n
4) Suites vérifiant une récurrence linéaire d’ordre 2
Définition : Une suite (u ) vérifie une récurrence linéaire d’ordre 2 s’il existe des n
réels a et b tels que : ∀n∈ u = au + bu avec b≠ 0 . n+2 n+1 n
Les réels a et b sont indépendants de n. On supposera b≠ 0 , sinon la suite est géométrique.
La première fois où l’on peut utiliser la relation est : u = au + bu . Donc pour n= 0 2 1 0
définir la suite, il faut donner ses deux premiers termes.
Pour déterminer l’expression du terme général u , on va se ramener à des suites n
géométriques.
Cours de math matiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lyc e Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011
eeSuites numériques - 3 - ECS 1
Soit q un réel. On introduit la suite de terme général : v = u − qu . n n+1 n
2Donc : v = u − qu = (a− q)u + bu = (a− q)v + (aq− q + b)u . n+1 n+2 n+1 n+1 n n n
2Donc si q = aq+ b , la suite (v ) est géométrique de raison (a− q) . n
2
Définition : L’équation x = ax+ b est appelée équation caractéristique associée à
cette récurrence linéaire d’ordre 2.
2Cette équation a pour discriminant : Δ= a + 4b .
er
1 cas : Δ> 0 .
L’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes q et q . 1 2
Donc on peut construire deux suites géométriques :
• La suite de terme général v = u − q u est géométrique de raison a− q = q . n n+1 1 n 1 2
• La suite de terme général w = u − q u est géométrique de raison a− q = q . n n+1 2 n 2 1
n n
q v − q wv − w 0 0n n n n 2 1 n nDonc : v = q v et w = q w . Or : u = = =αq +βq . n 0 n 0 n2 1 1 2q − q q − q
2 1 2 1
2Théorème : Si , alors l’équation caractéristique possède deux Δ> 0 x = ax+ b
racines réelles distinctes q et q . Alors pour toute suite (u ) qui vérifie 1 2 n
∀n∈ u = au + bu , il existe des coefficients réels α et β uniques tels que : n+2 n+1 n
n n . ∀n∈ u =αq +βqn 1 2
q u − u q u − u2 0 1 1 0 1L’unicité vient des conditions initiales car : α= et β= .
q − q q − q
2 1 1 2
Exemple : On considère la suite définie par u = 1, u =−2 et par la relation de 0 1
récurrence : ∀n∈ u = 5u − 6u . n+2 n+1 n
L’équation caractéristique a deux racines distinctes 2 et 3.
n n
Donc : ∀n∈ u = 5× 2 − 4× 3 . n
ème
2 cas : Δ< 0 .
Le raisonnement est identique au précédent mais dans .
Donc, d’après la démonstration précédente, il existe deux complexes uniques et μ λ
n niθ −niθ ntels que : u = r (

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