Correction de Devoir Surveillé N°10: Années précédentes

Corrig e du Devoir Surveill e n 10 PROBLEME 1 : ALGEBRE Partie I. Etude d’un endomorphisme On note E = R [X] et on consid ere l’application ’ qui a tout polyn^ ome P2 R [X] fait corres-2 2 pondre le polyn^ ome ’(P ) d e ni par : 2 00 0’(P )(X) = (X 1) P (X) + 2X P (X) 1. On v eri e que ’ est lin eaire. De plus a. ’(1) = 0 b. ’(X) = 2X 2 2 2 2c. ’(X ) = 2(X 1) + 4X = 6X 2 2Ainsi, ’(1);’(X);’(X ) sont des polyn^omes de degr e in erieurs a 2. Comme ces trois po- lyn^ omes engendrent Im’, on a bien Im’ R [X]. En particulier, ’2L(E) est un endomor-2 phisme de E. N 2. Rangeons en colonnes les coordonn ees des images de la base canonique de E, il vient 0 1 0 0 2 @ AM (’) = 0 2 0B 0 0 6 2 23. D’apr es la premi ere question Im’ = Vect 2X; 6X 2 = Vect X; 3X 1 . Ces deux polyn^ omes sont non colin eaires. Par cons equent, cette famille de deux vecteurs est une base de Im’. D’apr es la formule du rang, il en r esulte que Ker’ est un espace vectoriel de dimension 1. Comme 12 Ker’, il s’ensuit que Ker’ = Vect (1). En conclusion : 2Im’ = Vect X; 3X 1 Ker’ = Vect (1) N 4. a. Soit 2 R. On sait que’ Id est bijectif si et seulement si son d eterminant est nonE nul. Comme 0 2 Det(’ id ) = 0 2 0 = (2 ) (6 )E 0 0 6 il en r esulte que ’ Id est bijectif, sauf lorsque 2f0; 2; 6g. NE 1 2b. SoitP =a +a X +a X 2E.P appartient au noyau de’ 6Id si et seulement si ses0 1 2 E coordonn ees (a ;a ;a ) v eri ent le syst eme0 1 2 8 2a = 6a n.