Correction de Devoir Surveillé N°08: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 12 mai 2012 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚08 EXERCICE 1 1.a. Montrons que E est un sous-espace vectoriel de D (R,R) `a l’aide de2 la caract´erisation des sev : • Il est clair que E⊂D (R)2 • La fonction nulle appartient `a E de fac¸on ´evidente. • Montrons que E est stable par combinaison lin´eaire : 22Soit (y ,y )∈ E , (λ ,λ )∈ R . Comme y et y sont solutions1 2 1 2 1 2 de (H), elles sont d´erivables dans R et v´erifient pour toutx∈R : 2λ y (x)+2xy (x)+x y (x) = 01 11 1 2λ y (x)+2xy (x)+x y (x) = 02 22 2 Il en r´esulte par OPA que la fonction λ y +λ y est aussi deux1 1 2 2 foix d´erivable dans R et qu’elle v´erifie : 2(λ y +λ y ) (x)+2x(λ y +λ y )(x)+x (λ y +λ y )(x) = 01 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 D’apr`es la caract´erisation des sev, on a bien ´etabli que E est un sous-espace vectoriel deD (R). N2 ˜b. Soit f ∈E. On d´efinit la fonction f :R→R par : ˜∀x∈R,f(x) =f (x)+xf(x). Soit x∈ R. Alors comme f appartient `a E, f est deux fois d´erivable en x et 2f (x) = −2xf (x)−x f(x); f est donc 3 fois d´er par opa et (3) 2f (x) = −2xf (x)−(x +2)f (x)−2xf(x) Finalement, comme f est trois fois d´erivable sur R, il en d´ecoule que ˜f est deux fois d´erivable dans R par op´erations sur de telles fonctions.