Correction de Devoir Surveillé N°08

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 25 mai 2013 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚08 `PROBLEME 1 Danstoutleprobl`emeE d´esigneunespacevectorieldedimensionfinie sur K =R ou C. D´efinition: Un endomorphismef ∈L(E) est dit nilpotent s’il existe pp∈N tel que f = 0 .L(E) pNotons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p∈ N tel que f = 0 . On note ν(f)∈ N cet entier, appel´e indice de nilpotence deL(E) f. Partie I. Deux exemples n1. Endomorphisme nilpotent de K nDanscettequestion,E =K estl’espacevectorieldesn-upletsd’´el´ements n nde K. On consid`ere l’application ϕ :K →K d´efinie par n ∀(x ,...,x )∈K , ϕ(x ,...,x ) = (0,x ,...,x )1 n 1 n 1 n−1 a. Il est clair que ϕ : E → E. Montrons que ϕ est lin´eaire : soit (~x,~y)∈ 22E , (λ,μ)∈R . On a : ϕ(λ·~x+μ·~y) = ϕ λx +μy ,...,λx +μy1 1 n n = 0,λx +μy ,...,λx +μy1 1 n−1 n−1 = λ·(0,x ,...,x )+μ·(0,y ,...,y )1 n−1 1 n−1 = λ·ϕ(~x)+λ·ϕ(~y) Ainsi, ϕ est un endomorphisme de E. N b. La matrice repr´esentative de ϕ dans la base canonique de E est   0 0 0 ··· 0  1 0 0 ··· 0  .. . . . .. .M (ϕ) = 0 1 . C  . . . .. . . . . . .. 0 0 ··· 0 1 0 N 1 ⋆⋆⋆ c. Comme Imϕ est engendr´e par ϕ(~e ),ϕ(~e ),...,ϕ(~e ), il vient :1 2 n Imϕ = Vect(0,~e ,~e ,...,~e ) = Vect(~e ,~e ,...,~e )1 2 n−1 2 3 n Ainsi, la famille (~e ,~e ,...,~e ) engendre Imϕ. De plus, cette famille2 3 n nest extraite de la base canonique de K , par cons´equent, elle est libre. Ainsi (~e ,~e ,...,~e ) est donc bien une base de Imϕ.