Correction de Devoir Surveillé N°07: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 7 avril 2012 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚07 EXERCICE 1 axSoit a ∈ R et f : R→ R l’application d´efinie par f(x) = e et (u ) la suite d´efinien n∈N par u = 00 (1) ∀n∈N, u = f(u )n+1 n Partie I. Points fixes de la fonction it´eratrice ln(x)+ +1. Soit ϕ : R → R la fonction d´efinie par ϕ(x) = .ϕ est d´erivable sur R comme x quotientdetelles fonctionsdontled´enominateurnes’annule pas.Depluspourtoutx> 0, 1−ln(x) ϕ(x) = . En particulier, ϕ(x) > 0 ⇐⇒ x 0 et ax = ln(x) ⇐⇒ x> 0 et ϕ(x) =a D’apr`es le tableau de variation de ϕ, on en d´eduit que si a≤ 0, f admet exactement 1 point fixe; −1si 0 e , f n’admet aucun point fixe. N Partie II. Cas d’une it´eratrice croissante On suppose dans cette partie que a≥ 0. 1. f est croissante comme compos´ee de telles fonctions. N +2. L’intervalleR eststable parf,parcons´equent lasuite (u )est bien d´efinie `avaleursdansn + +R . En outre, f est croissante sur R donc la suite (u ) est monotone. Pour d´eterminern sa monotonie il suffit d’observer que h(u ) = u −u = 1 > 0. Par cons´equent, (u ) est0 1 0 n croissante. N 1 ◮◮ր′⋆◮′◮′ց⋆ 13. On suppose que a > . D’apr`es le th´eor`eme de la limite monotone, la suite (u ) admetne +une limite dans ∈R ∪{+∞}. Comme la fonction it´eratrice est continue, on sait que si +la suite converge vers ∈R , alors est n´ecessairement un point fixe de f. Or d’apr`es la question I.2, f n’a pas de point fixe. Par cons´equent (u ) est divergente vers +∞. Nn 14.