Correction de Devoir Surveillé N°07

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr lundi 6 mai 2013 ´ ´CORRIGE DU CONCOURS BLANC DE MATHEMATIQUES EXERCICE 1 Partie I. D´efinition et premi`eres propri´et´es i`emeSoit n∈N. On d´efinit le n polynˆome de Legendre par n 2X1 n n−k kL (X) = (X−1) (X +1)n n2 k k=0 1. On obtient L (X) = 10 L (X) = X1 1 3 2L (X) = − + X2 2 2 3 5 3L (X) = − X + X3 2 2 N 2. En effectuant le changement d’ind´etermin´ee X ↔ −X dans l’expression de L , nousn obtenons n 2X1 n n−k kL (−X) = (−X−1) (−X +1)n n2 k k=0 n 2X1 n n−k+k n−k k= (−1) (X +1) (X−1) n2 k k=0 n 2n X(−1) n n−k k= (X +1) (X−1) n2 k k=0 n= (−1) L (X)n Nb : la derni`ere ´egalit´e d´ecoule du changement d’indice k↔n−k. N 2 n n n3. Notons pour tout entier naturel non nul n∈ N , F = (X −1) = (X−1) (X +1) .n i`emeCalculons la d´eriv´ee n de F `a l’aide de la Formule de Leibniz. Il vient :n n (k) (n−k)X n(n) n nF = (X +1) × (X−1)n k k=0 nX n n! n!n−k k= (X−1) × (X +1) k (n−k)! k! k=0 n 2X n n k n= n! (X−1) ×(X−1) =n! 2 L (X).n k k=0 N 1 ⋆ 4.a. Tout d’abord, d’apr`es les r`egles de calcul sur le degr´e des polynˆomes, L est de degr´e n.n De plus, le monˆome dominant de L est donn´e `a l’aide de la d´efinition parn n n2 2X X1 n 1 nn n−k k nd X = X X = Xn n n2 k 2 k k=0 k=0 2nD’autre part, comme le monˆome dominant de F est X , il s’ensuit que le monˆomen (2n)!(n) ndominant de F est X . Par identification des coefficients, il s’ensuit que d =n n n! 1 (2n)! , d’ou` l’on tire : n 22 (n!