Correction de Devoir Surveillé N°06: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 10 mars 2012 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚06 `PROBLEME 1 Partie I. Cons´equence s´equentielle de l’uniforme continuit´e 1. On suppose que f : I→R est uniform´ement continue dans I. a. Par d´efinition : 2(∀ε > 0), (∃η > 0), (∀(x,y)∈ I ), (|x−y|≤ η⇒|f(x)−f(y)|≤ ε) N N Nb. Soit (x )∈ I , (y )∈ I telles que lim(y −x ) = 0. On montre quen n n n n limf(y )−f(x ) = 0.n n n Soit ε > 0 fix´e once and for all. Comme f est uniform´ement conitinue dans I, il existe η > 0 tel que 2(∀(x,y)∈ I ), (|x−y|≤ η⇒|f(x)−f(y)|≤ ε) (1) Or par hypoth`ese, la suite (y −x ) est convergente de limite nulle.n n Par cons´equent , il existe un entier naturel n ∈N tel que Applique la0 d´efinition de suite ∀n∈N (n≥ n ⇒|y −x |≤ η) (2)0 n n convergente avec η `a la place de ε Soit n ≥ n . D’apr`es (2), |x − y | ≤ η. D’apr`es (1), il en r´esulte0 n n finalement que|f(x )−f(y )|≤ ε.n n Par d´efinition, on a bien montr´e que lim (f(x )−f(y )) = 0. Nn n n→+∞ Nc. Soit (x )∈ I une suite convergente vers x∈R. Alors (x ) est aussin n+1 convergente de limite x comme suite extraite. Par OPA, il en r´esulte que (x −x ) est convergente de limite nulle. D’apr`es la questionn+1 n pr´ec´edente, on peut en d´eduire que limf(x )−f(x ) = 0. Nn+1 n n 1+⋆2. Soitg ethlesfonctionsd´efiniessurR et]0,1]parg(x) = eth(x) = x +⋆sin(1/x) respectivement. g est continue sur R comme quotient de telles fonctions dont le d´enominateur ne s’annule pas.