Correction de Devoir Surveillé N°06

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 23 mars 2013 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚06 EXERCICE 1 On consid`ere la suite de nombres r´eels (u ) d´efinie par :n n∈N 2u = u +un+1 n n +u = a, a∈R0 Partie I. Convergence de (u )n n∈N 1. Une r´ecurrence imm´ediate montre que (u ) est strictement positive : on peut aussi utili-n +en effet ser le fait que R est Initialisation : a> 0 stable pour la fonction 2H´er´edit´e : soitn∈N tel queu > 0. Alorsu =u +u ≥u > 0. it´eratrice f : x →x +n n+1 n nn 2Par transitivit´e de l’ordre, il s’en suit que u > 0. xn+1 Conclusion : Par r´ecurrence, j’ai d´emontr´e que∀n∈N, u > 0.n Il en r´esulte imm´ediatement que (u ) est strictement croissante :n 2Soit n ∈ N, alors d’apr`es ce qui pr´ec`ede u −u = u > 0. J’enn+1 n n d´eduis que (u ) est strictement croissante. Nn 2. Recall that increasing sequences are either converging to a finite value or diverging to +∞. Montrons par l’absurde que (u ) ne peut ˆetren convergente : Supposons au contraire que (u ) converge vers une limite finie ∈ R.n Alors 2u = u +un+1 n n 2= + D’apr`es les propri´et´es alg´ebriques des suites convergentes , la suite ou par le th´eor`eme 2de terme g´en´eralu +u est convergente de limite . De mˆeme, la suite de la Caract´erisationn n (u ) extraite de la suiteu est aussi convergente vers . Par unicit´e s´equentielle de lan+1 n 2de la limite, il en r´esulte que = + , i.e. = 0.