Correction de Devoir Surveillé N°05: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr samedi 4 f´evrier 2012 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚05 `PROBLEME 1 2 2Soit G ={(a,b)∈N×Z | a −2b = 1}. On d´efinit une loi de com- position× sur G par ∀((a,b),(c,d))∈G×G, (a,b)×(c,d) = (ac+2bd,ad+bc) Partie I. Etude de (G,×) 21. Soit((a,b),(c,d))∈G ,onv´erifieque(a,b)×(c,d) = (ac+2bd,ad+bc) appartient `a G. Pour cela, on calcule : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(ac+2bd) −2(ad+bc) = a c +4b d −4abcd−2a d −2b c −4abcd 2 2 2 2 2 2= a (c −2d )+2b (2d −c ) 2 2= a −2b = 1 Ainsi, on a bien ´etabli que pour tout couple ((a,b),(c,d)) d´el´ements de G, on a (a,b)×(c,d) ∈ G : × est une loi de composition interne dans G. N 2. Il est clair que× commutative. Montrons qu’elle est associative. 3Soit donc ((a,b),(c,d),(e,f))∈G un triplet d’´el´ements de G. On a ((a,b)×(c,d))×(e,f) = (ac+2bd,ad+bc)×(e,f) = (ace+2bde+2adf +2bcf,2bdf +acf +ade+bce) (a,b)×((c,d)×(e,f)) = (a,b)×(ce+2df,cf +de) = (ace+2adf +2bcf +2bde,2bdf +acf +ade+bce) Ainsi,× est associative et commutative. N 3. On observe que (1,0) est ´el´ement neutre de × car (1,0)× (a,b) = (a+0,b). N 4. Ils’agitdev´erifierquetout´el´ement deGestsym´etrisable. Soit(a,b)∈ G. ax+2by = 1 ax+2by = 1 (a,b)×(x,y) = (1,0) ⇐⇒ ⇐⇒ 2 2(2b −a )y = bbx+ay = 0  2  1+2b x = ax =⇐⇒ ⇐⇒a y = −b y = −b 1 Ainsi, tout ´el´ement (a,b) de G est sym´etrisable et son inverse est −1(a,b) = (a,−b) Par d´efinition, on a bien montr´e que (G,×) est un groupe ab´elien. N ´Partie II.