Correction de Devoir Surveillé N°04

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 19 janvier 2013 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚04 EXERCICE 1 2Soit n∈N. Quel est le cardinal de l’ensemble E ={(x,y)∈N | 2x+3y =n}.n 21. R´esolvons toutd’abordl’´equation propos´ee dansZ . Comme2∧3 = 1,l’´equation propos´ee admet toujours des solutions dans Z. une solution particuli`ere pour n = 1 est 2×(−1)+1×3 = 1. Par cons´equent, pour tout entier naturel n∈N, une solution particuli`ere est 2×(−n)+3×n =n. 2 Ainsi, pour tout couple (x,y)∈Z d’entiers relatifs, nous avons 2x+3y =n ⇐⇒ 2x+3y = 2×(−n)+3×n ⇐⇒ 2(x+n) = 3(n−y) Ainsi, pour toute couple solution, (x,y), 2 divise 3(n−y). Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, il d´ecoule du th´eor`eme de Gauss que 2 divise n−y). Il existe donc k ∈ Z tel que n−y = 2k. Il en r´esulte ais´ement que x+n = 3k.Ainsi, 2pour tout couple solution (x,y) dans Z , il existe k∈Z tel que x = 3k−n y = n−2k R´eciproquement, on v´erifie ais´ement que pour tout entier relatif k∈Z, le couple (3k− n,n−2k) est solution de l’´equation 2x+3y =n. R´esumons, 2S ={(x,y)∈Z | 3x+2y =n} ={(3k−n,n−2k), k∈Z}n 22. A pr´esent, int´eressons-nous `a E =S ∩N . Une solution (3k−n,n−2k) appartient `an n n n2N si et seulement si 3k−n≥ 0 et n−2k≥ 0, soit ≤k≤ . Par cons´equent 3 2 n n E ={(3k−n,n−2k), k∈Z et ≤k≤ }n 3 2 n nAinsi d´eterminer le cardinal deE , revient `a d´enombrer l’intervalle d’entiersI = , ∩n n 3 2 N. Pour cela, discutons suivant le reste de la division euclidienne de n par 6.