Correction de Devoir Surveillé N°03

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 08 d´ecembre 2012 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚03 `PROBLEME 1√ √ √ On donne ln(1+ 2)≈ 0,88 et 2−ln(1+ 2)≈ 0,53. Partie I. R´esolution d’´equations diff´erentielles 1. On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire homog`ene d’ordre 1 `a coefficient continu (E ) z +ztht = 01 sht Ici, a(t) = tht = . Prenons A(t) = lncht. La solution g´en´erale de (E ) s’´ecrit :1 cht C z(t) = cht La solution z de (E ) v´erifiant la condition initiale z (0) = 1 est d´efinie pour tout t∈R1 1 1 1 par z (t) = . N1 cht 2. R´esolvons sur R l’´equation diff´erentielle (E ) z +ztht =ttht2 C • l’´equation homog`ene associ´ee `a (E ) est (E ). Ses solutions s’´ecrivent z(t) = N2 1 cht • Pourd´eterminerunesolutionparticuli`erede(E ),utilisonslam´ethodedelavariation2 C(t) de la constante : posons z(t) = , de sorte que cht 1 tht× z(t) = C(t) cht 1 1 1× z (t) = C (t) +C(t) cht cht C (t) Par cons´equent, pout tout t∈R, z (t)+thtz(t) = . cht C (t) Ainsi, z est solution de (E ) si et seulement si = ttht2 cht si et seulement si C (t) = tsht Pour d´eterminer une primitive de tsht sur R, int´egrons par parties : Z Z tshtdt = tcht − chtdt = tcht−sht Prenons C(t) =tcht−sht. tcht−sht Une solution particuli`ere de (E ) est donn´ee par z (t) = = t−tht.