Correction de Devoir Surveillé N°01: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr Samedi 24 septembre 2011 ´ ´CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N˚01 `PROBLEME 1 Dans ce probl`eme, on r´esout trois ´equations polynomiales suivant une m´ethode diff´erente `a chaque fois. 1. M´ethode de Cardan Le but de ce paragraphe est de r´esoudre dans C l’´equation 3z −3iz +1−i = 0 (1) `A cette fin, consid`erons le syst`eme suivant : u+v = z (2) u×v = i. a. Supposons que z est solution de (1), et que (u,v) est une solution 3 3de (2), alors d’une part u × v = −i et d’autre part, la formule du 3 3 3 3binˆome donne u + v = (u + v) − 3uv(u + v) = z − 3iz = i− 1, 3 3puisque z est solution de (1). Ainsi, (u ,v ) est solution du syst`eme somme-produit : 3 3u +v = i−1 3 3u ×v = −i Ce sont donc les solutions de l’´equation : 2w +(1−i)w−i = 0 (3) N 3 3b. iet−1sontracinesde(3),onadoncu = ietv =−1oulecontraire. 3Convenons que u = i, et d´eterminons en ce cas les valeurs possibles pour u : il s’agit des racines troisi`emes de i. Or, iπ/2 iπ/6 une racine cubique particuli`ere de i = e est e . 2iπ/3 4iπ/6 2 les racines troisi`emes de l’unit´e sont 1,j = e = e et j . iπ/6 5iπ/6 9iπ/6 en conclusion, les racines troisi`emes de i sont e ,e ,e = 3iπ/2e En utilisant l’´egalit´e i = uv, on obtient les valeurs de v correspon- dantes : iπ/6 5iπ/6u e e −i iπ/3 −iπ/3v = i/u e e −1 √ √ 1+ 3 1− 3z = u+v (1+i) (1+i) −(1+i) 2 2 N 1 c.