Correction de Devoir Libre N°15: Années précédentes

Corrig e du Devoir Libre n 15 PROBLEME 1 : Endomorphismes cycliques Notations : Dans tout le probl emeE d esigne un K-espace vectoriel de dimension nie n2 N,n 2. Pour tout endomorphisme u2L(E), et pour tout ~x2E, on note kE (~x) = Vect (u (~x); k2 Ngu K D e nition : On dit qu’un endomorphisme u2L(E) est cyclique s’il existe un vecteur ~x2 E tel que E (~x) =Eu Partie I. Exemples 1. On suppose ici que n = 3, et que E est muni d’une base (~e ;~e ;~e ) de E. On consid ere1 2 3 l’endomorphisme u2L(E) d e ni par u(~e ) = 6 ~e + 27 ~e + 17 ~e1 1 2 3 u(~e ) = 24 ~e + 18 ~e + 38 ~e2 1 2 3 u(~e ) = 12 ~e 24 ~e 24 ~e3 1 2 3 a. On a ~e = ~e1 1 u(~e ) = 6~e + 27~e + 17~e1 1 2 3 2u (~e ) = 480~e + 720~e1 1 3 2On v eri e que la famille ~e ;u(~e );u (~e ) est libre. Comme elle est de cardinal 3, il s’agit1 1 1 2donc d’une base de E. Ainsi, Vect ~e ;u(~e );u (~e ) =E. Comme de plus,1 1 1 2Vect ~e ;u(~e );u (~e ) E (~e ) E1 1 1 u 1 Il s’ensuit que E (~e ) =E. Nu 1 b. Ainsi, u est cyclique. N 2. Dans cette question E = R [X]. On consid ere l’endomorphisme de d erivation u d e ni pourn 0tout P2E par u(P ) =P . a. Soit P 2 E, un polyn^ ome quelconque. Notons p 2 [[0;n]] le degr e de P . D’apr es les propri et es alg ebriques du degr e des polyn^ omes, on a I si P est de degr e n egatif, alors u(P ) est le polyn^ ome nul. I si P est de degr e strictement positif, alors u(P ) est de degr e p 1 1 k+1Soit alors P un polyn^ ome de degr e k2 [[0;n]].