Correction de Devoir Libre N°13

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr FACULTATIF ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚13 `PROBLEME 1 Partie I. Le cas ou` P est constant ∃b∈R, ∀n∈N,u = au +b(0) n+1 n 1. Soit u∈ E . Si alors ∀n∈ N,au +b = au +ba n n∃b ∈R, ∀n∈N,u = au +bn+1 n c’est `a dire b = b. (0) (0)N2.a. E = {u ∈ R /∃b ∈ R,∀n ∈ N,u = u + b}. E est donc l’ensemble des suitesn+1 n1 1 arithm´etiques. 0Donc u∈ E ⇐⇒ ∃λ,μ∈R tel que∀n∈N, u = λn+μ.n1 (0) (0)Nb. E = {u ∈ R }/∃b ∈ R,∀n ∈ N, u = b}. E est donc l’ensemble des suitesn+10 0 constantes. 0Donc u∈ E ⇐⇒ ∃μ∈R tel que∀n∈N, u = μ.n0 (0) 3. Soit u et v dans E et soit λ et μ deux r´eels.a ∀n ∈ N, (λu +μv) = λu +μv = λ(au +b ) +μ(av +b ) = a(λu +μv) +n+1 n+1 n+1 n u n v n (λb +μb ).u v (0) (0) Donc λu+μv∈ E avec b = λb +μb . E ´etant stable par combinaisons lin´eairesa aλu+μv u v Nest un sous-espace vectoriel de R . (0) 4. – x∈ E avec b = 1−a car∀n∈N,x = 1 = ax +b = a.1+(1−a).a x n+1 n x (0) n+1 n– y∈ E avec b = 0 car∀n∈N,y = a = ay +b = a.a +0.a y n+1 n y – (x,y) est une famille libre. En effet : n∀α,β∈R,αx+βy = 0 ⇐⇒ ∀n∈N,α+βa = 0. Cette ´egalit´e ´etant vraie pour tout α+β = 0 n est vraie en particulier pour n = 0 et n = 1. Ceci conduit au syst`eme α+βa = 0 avec a = 1, d’ou` α = β = 0. 5.a.