Correction de Devoir Libre N°12: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre lundi 23 avril 2012 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚12 `PROBLEME 1   1 1 1L’objectif de cet exercice est d’´etudier quelques pro-  A = 2 2 2pri´et´es de la matrice A∈M (R) d´efinie ci-contre.3 0 0 1 Partie 5. Diagonalisation  x +x +x = λx 1 2 3 1 Onconsid`erepourλ∈Rlesyst`emed’´equationslin´eaires (S ) 2x +2x +2x = λxλ 1 2 3 2  x = λx3 3 1. Soit λ∈R  (1−λ)x +x +x = 0 1 2 3 (S ) ⇐⇒ 2x +(2−λ)x +2x = 0λ 1 2 3  (1−λ)x = 03 2x +(2−λ)x +2x = 0 1 2 3 ⇐⇒ (1−λ)x +x +x = 01 2 3  (1−λ)x = 03 2x +(2−λ)x +2x = 0 1 2 3 ⇐⇒ λ(λ−3)x −2λx = 02 3  (1−λ)x = 03 Ce dernier syst`eme est triangulaire sup´erieur. Il est donc de Cramer si et seulement si tTOUS ses coefficients diagonaux sont non nuls. Autrement dit (S ) n’est pas de Cramer si et seulement si λ ∈λ {0,1,3}. N 2. Reprenons le syst`eme triangulaire ´equivalent `a (S ) dans les trois casλ suivants : λ = 0 2x +2x +2x = 0 x +x = 01 2 3 1 2 (S ) ⇐⇒ ⇐⇒0 x = 0 x = 03 3 Ainsi, les solutions de (S ) sontS = Vect {(1,−1,0)}.0 0 R λ = 1 2x +x +2x = 0 2x = −x1 2 3 1 3 (S ) ⇐⇒ ⇐⇒1 −2x −2x = 0 x = −x2 3 2 3 1Ainsi, les solutions de (S ) sontS = Vect {(− ,−1,1)}.1 1 R 2 1 λ = 3 2x −x +2x = 0 2x = x1 2 3 1 2 (S ) ⇐⇒ ⇐⇒3 −6x = 0 x = 03 3 1Ainsi, les solutions de (S ) sontS = Vect {( ,1,0)}. N3 3 R 2 3. On d´efinit les deux matrices     11 − 1 0 0 0 2    P = −1 −1 2 et D = 0 1 0 0 1 0 0 0 3   4 −2 0 1 −1  a.