Correction de Devoir Libre N°07: Années précédentes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le mardi 4 janvier 2012 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚07 `PROBLEME 1 21.a. Soit (x,y)∈ N . x+y et x+y +1 sont deux entiers cons´ecutifs, par cons´equent l’un des deux est pair, i.e. divisible par 2. A fortiori, leur (x+y)(x+y +1) produit est divisible par 2. N 2 On consid`ere alors l’application f :N×N dans N d´efinie par (x+y)(x+y +1)2∀(x,y)∈N , f(x,y) =y + 2 b. Quelques calculs num´eriques : 2Dans le tableau de gauche figurent quelques ´el´ements de N . Portez dans le tableau de droite les valeurs de f correspondantes. Ces r´esultats ne sont qu’une indication pour la suite. 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) 0 1 (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 1 2 (2,0) (2,1) (2,2) 2 3 (3,0) (3,1) 3 4 (4,0) 4 22.a. Soit (x,y) et (x,y ) dans N tels que x+y≥x +y +1, on a (x+y)(x+y +1) (x +y +1)(x +y +2) f(x,y) = +y≥ +y 2 2 (x +y +1)(x +y ) 2(x +y +1) ≥ + +y 2 2 (x +y +1)(x +y ) ≥ +x +y +y +1 =f(x,y )+x +y +1 2 > f(x,y ) N 2b. Soit (x,y) et (x,y ) dans N . D’apr`es la question pr´ec´edente, on a x+y >x +y ⇒f(x,y)>f(x,y ) 1 ′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′ Par contrapos´ee, il en r´esulte que pour tous couples (x,y) et (x,y ) d’entiers naturels, ∀((x,y),(x,y )), f(x,y)≤f(x,y )⇒x+y≤x +y A pr´esent, consid´erons (x,y) et (x,y ) tels que f(x,y) =f(x,y ). En cecas,onasimultan´ementf(x,y)≤f(x,y )etf(x,y )≤f(x,y).