Correction de Devoir Libre N°07

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr `a rendre le lundi 7 janvier 2013 ´CORRIGE DU DEVOIR LIBRE N˚07 `PROBLEME 1 Partie I. Etude de f t Soit f la fonction d´efinie par f(0) = 0 et f(t) = sinon. lnt 1. D = [0,1[∪]1,+∞[. N +2. Etudions la limite des taux de variations de f en 0 . f(t)−f(0) 1 +Soit t ∈ R , = . Comme lim lnt = −∞, il s’ensuit par OPA que +t−0 lnt t→0 f(t) lim = 0. Par d´efinition, cela signifie que f est d´erivable en 0 et f (0) = 0. N +t→0 t Remarque: Onpeutaussid´emontrercer´esultatenutilisantleth´eor`emedeprolongement 1pour les applications de classeC et traiter cette question et la suivante d’un coup. 3. La fonction f est d´efinie sur [0,1[. De plus, comme ln ne s’annule pas sur ]0,1[, f f est de 1classe C sur cet intervalle comme quotient de telles fonctions. Montrons que la d´eriv´ee de f est continue sur [0,1|. Il reste `a prouver que f est continue en 0. lnt−1 1 1 Pour tout t∈]0,1[, f (t) = = − . Comme lim lnt =−∞, il s’ensuit par 2 2 +lnt t→0ln t ln t OPA que lim f (t) = 0 =f (0) +t→0 Ainsi, f est continue en 0. N 4. Soit t∈D. lnt−1 f (t) > 0 ⇐⇒ > 0 ⇐⇒ t > e 2ln t On en d´eduit le tableau de variations suivant : t 0 1 e +∞ f (t) − − 0 + 0 +∞ +∞ f(t) −∞ e N Partie II. Etude de la fonction g 2t −1 Soit g la fonction d´efinie par g(t) = tlnt 1. On admet que sur D\{0}, g est d´erivable et 2 21+t 1−t g (t) = ×h(t), ou` h(t) = lnt+ .2 22t ln t 1+t 1 ⋆ր′′′ց′ց′′′′′ Soit t∈D\{0}, on a clairement, g (t)> 0 ⇐⇒ h(t) > 0.